Решение задачи о перпендикуляре

Из теоремы следует, что задача о перпендикуляре имеет, и притом единственное, решение. Укажем один из способов построения этого решения.

Пусть . Разложение  равносильно задаче построения векторов  и  таких, что

Итак, задача о перпендикуляре сводится к поиску чисел  , для которых

.                                     (5.4)

Сравнение этих соотношений с(5.3) и (5.4) говорит о том, что числа  являются решением системы с матрицей Грамма  и правой частью .

Отметим возможные при этом варианты.

1. Если  - ОНБ P, то  и система () имеет единственное решение , при этом , .

2. Если  - линейно независимы, то  и система (5.4) имеет единственное решение; решив систему (), найдем , .

3. Если  - линейно зависимы, то  и система (5.4) имеет бесконечно много решений, которые соответствуют бесконечному числу разложений вектора  по линейно зависимой системе векторов .