2020-05-11
197
О п р е д е л е н и е. Евклидовы пространства 
и 
называются изоморфными, если существует биективное отображение 
, которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение, т.е. если:
1) 
,
2) 
,
3) 
.
Само отображение 
при этом называется изоморфизмом евклидовых пространств или изометрией.
Точно так же определяется изоморфизм унитарных пространств 
и 
.
Из определения следует, что изоморфные евклидовы(унитарные) пространства изоморфны как линейные пространства.
Т е о р е м а. Два евклидовых(унитарных) пространства изоморфны тогда, и только тогда, когда равны их размерности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 
и 
- оба евклидовы(унитарные) пространства и пусть 
. Выберем в и ортонормированные базисы 
и 
и построим отображение 
, положив для каждого вектора 
вектор 
. Из доказательства теоремы () следует, что отображение - изоморфизм линейных пространств 
и 
. Оно сохраняет скалярное произведение, так как если 
и 
, то согласно (3.7) имеем
и 
. #
