2020-05-12
98
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
(4)
где 
и 
многочлены от 
степеней 
и 
соответственно.
Рациональная дробь (4) называется правильной, если 
и неправильной, если 
.
Определение. Простейшими рациональными дробями называют правильные рациональные дроби четырех типов:
где a, p, q, A, M, N 
действительные числа, 
При этом квадратный трёхчлен 
не имеет действительных корней, т.е. 
Простейшие дроби 1-го и 2-го типов интегрируются заменой 
a 3-го типа заменой (2). Интегрирование простейших дробей 4-го типа является громоздкими, и мы его рассматривать не будем.
Теорема (о представлении рациональной дроби в виде суммы простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1) 4). При этом каждому множителю в знаменателе вида 
будет соответствовать группа из n слагаемых вида 
, а каждому множителю в знаменателе вида 
— слагаемые 
.
Постоянные 
, N 1, N 2, … называют неопределенными коэффициентами и находят по следующему алгоритму:
1) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю.
2) Числитель получившейся дроби приравнять числителю исходной дроби.
3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 
многочленов в левой и правой частях полученного тождества.
4) Решить полученную систему уравнений, которая имеет единственное решение.
Теорема (о представлении неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби). Всякую неправильную рациональную дробь 
можно разложить, и притом единственным образом, на сумму многочлена 
(целая часть) и правильной рациональной дроби 
(
«остаток» от деления 
на 
):
Итак, алгоритм интегрирования рациональных дробей:
1) Если подынтегральная дробь неправильная, то из неё выделяют целую часть , которая интегрируется непосредственно, и правильную рациональную дробь 
.
2) Правильную рациональную дробь 
раскладывают на сумму простейших дробей.
3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих замен переменных результаты складывают.
Пример. Найти интегралы от рациональных дробей.
а) 
б) 
Решение.
а) Подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен «углом»:
Итак, 
Тогда
б) Подынтегральная дробь правильная, знаменатель этой дроби
разложим на множители, а затем разложим дробь на сумму простейших дробей.
Итак, получаем
Поскольку знаменатели исходной и полученной дробей одинаковы, то приравняем их числители и получим тождество
Сгруппируем в правой части слагаемые с одинаковыми степенями, а
затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и
правой частях тождества:
Следовательно, искомое разложение имеет вид:
Вернёмся к вычислению интеграла:
