Интегрирование рациональных дробей

Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

                            (4)

где  и  многочлены от  степеней  и  соответственно.

Рациональная дробь (4) называется правильной, если  и неправильной, если .

Определение. Простейшими рациональными дробями называют правильные рациональные дроби четырех типов:

где a, p, q, A, M, N  действительные числа,  При этом квадратный трёхчлен  не имеет действительных корней, т.е.

Простейшие дроби 1-го и 2-го типов интегрируются заменой  a 3-го типа  заменой (2). Интегрирование простейших дробей 4-го типа является громоздкими, и мы его рассматривать не будем.

Теорема (о представлении рациональной дроби в виде суммы простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1)  4). При этом каждому множителю в знаменателе вида  будет соответствовать группа из n слагаемых вида , а каждому множителю в знаменателе вида  — слагаемые .

Постоянные , N ₁, N ₂, … называют неопределенными коэффициентами и находят по следующему алгоритму:

1) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю.

2) Числитель получившейся дроби приравнять числителю исходной дроби.

3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях  многочленов в левой и правой частях полученного тождества.

4) Решить полученную систему уравнений, которая имеет единственное решение.

Теорема (о представлении неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби). Всякую неправильную рациональную дробь  можно разложить, и притом единственным образом, на сумму многочлена  (целая часть) и правильной рациональной дроби (  «остаток» от деления  на ):

Итак, алгоритм интегрирования рациональных дробей:

1) Если подынтегральная дробь неправильная, то из неё выделяют целую часть , которая интегрируется непосредственно, и правильную рациональную дробь .

2) Правильную рациональную дробь  раскладывают на сумму простейших дробей.

3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих замен переменных результаты складывают.

Пример. Найти интегралы от рациональных дробей.

а)                            б)

Решение.

а) Подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен «углом»:

Итак,  Тогда

б) Подынтегральная дробь правильная, знаменатель этой дроби

разложим на множители, а затем разложим дробь на сумму простейших дробей.

Итак, получаем

Поскольку знаменатели исходной и полученной дробей одинаковы, то приравняем их числители и получим тождество

Сгруппируем в правой части слагаемые с одинаковыми степенями, а

затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и

правой частях тождества:

Следовательно, искомое разложение имеет вид:

Вернёмся к вычислению интеграла: