Проецирование точки на 2 взаимно перпендикулярные плоскости

 

Метод выполнения прямоугольных изображений на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций впервые был разработан в 1799 году французским инженером Гаспаром Монжем, который считается основоположником начертательной геометрии – науки об изображении предметов.

Для того, что бы получить две проекции точки, определяющих положение ее в пространстве, возьмем две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 8а):

 

1 – горизонтальная плоскость проекций – П₁  - расположена горизонтально;

2 – фронтальная плоскость проекций – П₂ – расположена вертикально.

 

Они пересекаются по прямой ох, которую назовем осью проекций х.

 

                     а                       б              в

Рисунок 8 – Проецирование т. А на 2 плоскости проекций

 

Для получения проекций т. А в системе П₁П₂ осуществляют прямоугольное проецирование на каждую из плоскостей проекций – опускают проецирующий луч под прямым углом на каждую плоскость – и получают две проекции т. А – А₁ и А₂. Проведем из каждой проекции проецирующие лучи до оси х – получим т. А_Х – координату х для т. А.

Рассмотрим по подробнее:

- отрезок АА₁ перпендикулярен плоскости П₁;

- отрезок АА₂ перпендикулярен плоскости П₂;

- отрезок А₁А_Х перпендикулярен оси х;

- отрезок А₂А_Х перпендикулярен оси х.

Однако пользоваться изображением на двух взаимно перпендикулярных плоскостях неудобно и затруднительно. Поэтому следующая задача – переход к изображению проекций в одной плоскости.

Для этого изображения на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций совмещают – комплексный чертеж. При этом фронтальная плоскость остается неподвижной, а горизонтальная плоскость проекций поворачивается вокруг оси х до совмещения с фронтальной плоскостью (рис. 8б). Т.о., фронтальная и горизонтальная проекции т.А располагаются на одной прямой А₁А₂, перпендикулярной к оси х. Эта прямая называется линий проекционной связи.

На рисунке 8б прямоугольники, имитирующие плоскости П₁ и П₂ даны для наглядности. В действительности чертеж т. А в системе П₁П₂ имеет вид, показанный на рисунке 8в.

Проецирование точки на 3 взаимно перпендикулярные плоскости.

Помимо горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций часто используют и плоскость проекций, перпендикулярную к плоскостям П₁ и П₂ – профильная плоскость проекций П₃ (рис. 9).

Рисунок 9 – Проекция т. А на 3 плоскости проекций

 

Три взаимно перпендикулярные плоскости П₁, П₂ и П₃ пересекаются по прямым ох, оу, оz – которые являются осями х, у и z.

Для получения проекций т. А в системе трех плоскостей осуществляют прямоугольное проецирование. При этом:

- отрезок АА₁ перпендикулярен плоскости П₁;

- отрезок АА₂ перпендикулярен плоскости П₂;

- отрезок АА₃ перпендикулярен плоскости П₃;

- отрезки А₁А_Х и А₂А_Х перпендикулярны оси х;

- отрезки А₂А_Z и А₃А_Z перпендикулярны оси z;

- отрезки А₁А_Y и А₃А_Y перпендикулярны оси y.

А точки А_Х, А_У и А_Z являются соответственно координатами х, у и z т.А.

При переходе к комплексному чертежу (рис. 10 б) плоскости горизонтальную и профильную разворачивают до совмещения с фронтальной (рис. 10 а).

               а                                        б

 

Рисунок 10 – Получение комплексного чертежа

 

На рисунке 11б показан комплексный чертеж точки А.

               а                                       б

Рисунок 11 – Комплексный чертеж т. А в системе П₁П₂П₃

 

Вывод: положение т. А в пространстве определяется ее тремя пространственными координатами х, у и z.

             а                                          б

Рисунок 12 – Координаты точки

 

Координаты измеряются и откладываются в направлениях, параллельным соответствующим координатным осям (рис. 12а, б). Т.е.:

 

- координата х - откладывается по оси х или на параллельных ей прямых;

- координата у - откладывается по оси у или на параллельных ей прямых;

- координата z - откладывается по оси z или на параллельных ей прямых.