2020-05-12
2388
Наиболее часто проверяется предположение о нормальном распределении генеральной совокупности, т.к. большинство статистических процедур ориентировано на выборки, полученные из нормально распределенной генеральной совокупности.
Для оценки соответствия имеющихся экспериментальных данных нормальному закону распределения обычно используют графический метод, выборочные параметры формы распределения и критерии согласия.
Наиболее убедительные результаты дает использование критериев согласия. Здесь нулевая гипотеза представляет собой утверждение о том, что распределение генеральной совокупности, из которой получена выборка, не отличается от нормального. Среди критериев согласия большое распространение получил непараметрический критерий χ2 (хи-квадрат). Он основан на сравнении эмпирических частот интервалов группировки с теоретическими (ожидаемыми) частотами, рассчитанными по формулам нормального распределения.
В MS Excel критерий χ2 реализован функцией ХИ2ТЕСТ, которая вычисляет вероятность совпадения наблюдаемых (фактических) значений и теоретических значений. Если вычисленная вероятность ниже уровня значимости (0,05), то нулевая гипотеза отвергается и утверждается, что наблюдаемые значения не соответствуют нормальному закону распределения. Если вычисленная вероятность близка к 1, то можно говорить о высокой степени соответствия экспериментальных данных нормальному закону распределения.
|
|
|
Задача 7. Проверить соответствие выборочных данных: 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 60, 60, 61, 65, 62, 62, 60, 64, 61, 59, 59, 63, 61, 62, 58, 58, 63, 61, 59, 62, 60, 60, 58, 61, 60, 63, 63, 58, 60, 59, 60, 59, 61, 62, 62, 63, 57, 61, 58, 60, 64, 60, 59, 61, 64, 62, 59, 65 нормальному закону распределения.
Решение
1. В диапазон А1:Е12 введите данные как показано на рисунке.
2. Выберите ширину интервала 1 кг. Тогда при крайних значениях веса 57 кг и 65 кг получится 9 интервалов. В диапазон G1:G12 введите названия и граничные значения интервалов.
3. Введите заголовки создаваемой таблицы (диапазон H1:L3).
4. Заполните столбец абсолютных частот. Для этого выделите блок ячеек H4:H12, вызовите функцию ЧАСТОТА, в появившемся диалоговом окне в поле Массив_данных введите диапазон наблюдений (A2:E12), в рабочее поле Массив_интервалов введите диапазон интервалов (G4:G12). Нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В столбце H4:H12 появится массив абсолютных частот.
5. В ячейке Н13 найдите общее количество наблюдений.
6. Заполните столбец относительных частот. В ячейку I4 введите формулу для вычисления относительной частоты: =H4/H$13. Нажмите клавишу Enter. Протягиванием скопируйте введенную формулу в диапазон I5:I12.
7. Заполните столбец накопленных частот. В ячейку J4 скопируйте значение относительной частоты из ячейки I4. В ячейку J5 введите формулу: =J4+I5. Нажмите Enter. Протягиванием скопируйте введенную формулу в диапазон J6:J12.
|
|
|
8. Найдите теоретические частоты нормального распределения. Для этого предварительно необходимо найти среднее значение и стандартное отклонение выборки. В ячейке I13 найдите вреднее значение для данных из диапазона A2:E12. В ячейке J13 найдите стандартное отклонение для этих же данных. В ячейки К1:L3 введите названия столбцов. Затем с помощью функции НОРМРАСП найдите теоретические частости. Установите курсор в ячейку К4, вызовите указанную функцию и заполните ее рабочие поля: х – G4, Среднее – $I$13, Стандартное_откл – $J$13, Интегральный – 0. Далее протягиванием скопируйте содержимое ячейки К4 в диапазон ячеек К5:К12. Затем установите курсор в ячейку L4 и введите формулу: =H$13*K4. Протягиванием скопируйте содержимое ячейки L4 в диапазон ячеек L5:L12.
9. С помощью функции ХИ2ТЕСТ определите соответствие данных нормальному закону распределения. Для этого установите табличный курсор в ячейку L13. Выберите функцию ХИ2ТЕСТ и в появившемся диалоговом окне в рабочие поля введите фактический Н4:Н12 и ожидаемый L4:L12 диапазоны частот. Нажмите Ok. В ячейке L13 появится значение вероятности того, что выборочные данные соответствуют нормальному закону распределения.
Вывод: Т.к. полученная вероятность соответствия экспериментальных данных р=0,98 много больше, чем уровень значимости α=0,05, от можно утверждать, что нулевая гипотеза не может быть отвергнута и, следовательно, данные не противоречат нормальному закону распределения. Более того, поскольку полученная вероятность близка к 1, можно говорить о высокой степени вероятности того, что экспериментальные данные соответствуют нормальному закону.
Задача 8. Найдите соответствие экспериментальных данных нормальному закону распределения для следующей выборки весов детей (кг): 21 (2), 22 (9), 23 (6), 24 (11), 25 (17), 26 (14), 27 (2).
ЗАДАНИЕ 4. Используя программу MS Excel выполнить самостоятельную работу (номер варианта соответствует порядковому номеру в журнале), результаты и выводы оформить в тетради:
Вариант 1
В районе N, где расположена тепловая электростанция, в одной из точек жилого поселка было взято 50 проб атмосферного воздуха. Уровень пыли составил: 0,14 мг/м3 в 15 пробах; 0,16 мг/м3 в 8 пробах; 0,13 мг/м3 в 2 пробах; 0,2 мг/м3 в 15 пробах; 0,18 мг/м3 в 6 пробах; 0,17 мг/м3 в 4 пробах. После установки золоуловителя количество пыли в пробах воздуха измерялось следующими цифрами: 0,09 мг/м3 в 2 пробах; 0,08 мг/м3 в 2 пробах; 0,05 мг/м3 в 16 пробах; 0,02 мг/м3 в 20 пробах; 0,14 мг/м3 в 2 пробах.
Определите среднюю концентрацию пыли в атмосферном воздухе до и после установки золоуловителя. Определите, достоверно ли уменьшилась среднесуточная концентрация пыли после введения в действие золоуловителя с уровнем значимости p < 0,05?
Вариант 2
В питьевой воде, которой снабжаются дома жителей города N, определялась концентрация соединений фтора. В 4 пробах было
обнаружено 0,5 мг/л этих соединений, в 5 – 0,6 мг/л, в 2 – 0,3 мг/л, в 3 – 0,4 мг/л, в 8 – 0,8 мг/л, в 10 – 0,9 мг/л, в 9 – 1,2 мг/л, в 12 – 1,1 мг/л, в 8 – 1,3 мг/л, в 17 – 1,0 мг/л, в 8 – 1,5 мг/л, в 7 – 1,6 мг/л, в 7 –0,7 мг/л, в 9 – 1,4 мг/л, в 1 – 0,2 мг/л.
Одновременно в городе M были получены следующие результаты: в 15 пробах было обнаружено 0,1 мг/л соединений фтора, в 10 – 0,09 мг/л, в 12 – 0,2 мг/л, в 8 – 0,05 мг/л, в 9 – 0,08 мг/л, в 17 – 0,15 мг/л, в 18 – 0,13 мг/л, в 2 – 1,1 мг/л, в 2 – 0,01 мг/л, в 3 – 1,0 мг/л, в 3 – 0,02 мг/л, в 4 – 0,03 мг/л, в 9 – 0,3 мг/л, в 5 –0,4 мг/л, в 4 – 0,7 мг/л.
Определите среднюю концентрацию соединений фтора в питьевой воде городов N и M. Установите, достоверно ли отличается средняя концентрация фторидов в питьевой воде города N от уровня фтора в воде города M при уровне значимости p < 0,05?
|
|
|
Вариант 3
При обследовании группы школьников 4-х классов сельского района А было установлено, что 2 человека имели по 5 кариозных зубов, 28 человек – по 1 кариозному зубу, 8 человек – по 4 кариозных зуба, 1 человек – 8 кариозных зубов, 20 человек – по 3 кариозных зуба, 16 человек – по 2 кариозных зуба и 6 человек не имели пораженных кариесом зубов.
При обследовании аналогичной группы школьников в районе Б были получены следующие результаты: 8 человек по 1 кариозному зубу, 15 человек – по 4 кариозных зуба, 26 человека имели по 5 кариозных зубов, 1 человек – 8 кариозных зубов, 10 человек – по 3 кариозных зуба, 11 человек – по 2 кариозных зуба и 2 человека не имели пораженных кариесом зубов.
Определите средние величины поражения кариесом школьников районов А и Б. Установите, достоверно ли они отличаются при уровне значимости p < 0,05?
Вариант 4
Перед сдачей экзамена у студентов определялась частота пульса. Были получены следующие данные: у 2 студентов – 76 ударов в минуту, у 3 студентов – 80 ударов в минуту, у 4 студентов – 108 ударов в минуту, у 2 студентов – 116 ударов в минуту, у 20 студентов – 88 ударов в минуту, у 6 студентов – 98 ударов в минуту, у 17 студентов – 86 ударов в минуту, у 11 студентов – 92 удара в минуту.
Определите среднюю частоту пульса у студентов перед экзаменом. Достоверно ли отличается показатель частоты пульса перед экзаменом от частоты пульса у этих же студентов после экзамена (при уровне значимости p < 0,05), если известно, что она составляла у 19 студентов – 78 ударов в минуту, у 3 студентов – 76 ударов в минуту, у 3 студентов – 75 ударов в минуту, у 4 студентов – 75 ударов в минуту, у 2 студентов – 85 ударов в минуту, у 6 студентов – 82 удара в минуту, у 17 студентов – 79 ударов в минуту, у 11 студентов – 81 удар в минуту?
Вариант 5
Исследовалась длительность лечения больных пневмонией в стационаре центральной районной больницы района N. Были получены следующие результаты: 25 дней лечилось 2 больных, 26 дней – 1 больной, 11 дней – 1 больной, 12 дней – 1 больной, 23 дня – 3 больных, 13 дней – 1 больной, 21 день – 3 больных, 24 дня – 1 больной, 22 дня – 3 больных, 14 дней – 2 больных, 20 дней – 5 больных, 15 дней – 2 больных, 16 дней – 3 больных,
|
|
|
17 дней – 4 больных, 19 дней – 8 больных, 18 дней – 7 больных.
Рассчитайте среднюю длительность лечения пневмонии. Достоверно ли она
отличается от аналогичного показателя больницы соседнего района М
(при уровне значимости p < 0,05), если известно, что в этой больнице 25 дней лечился 1 больной, 21 день – 2 больных, 11 дней – 26 больных, 12 дней – 18 больных, 23 дня – 3 больных, 13 дней – 10 больных, 21 день – 3 больных, 24 дня – 1 больной, 22 дня – 3 больных, 14 дней – 6 больных, 20 дней – 5 больных, 15 дней – 7 больных, 16 дней – 5 больных, 17 дней – 4 больных, 19 дней – 1 больной, 18 дней – 1 больной?
Вариант 6
В родильном доме города N изучалась длина тела новорожденных девочек. Были получены следующие данные: у 8 девочек
длина тела составила 48 см, у 6 девочек – 51 см, у 7 девочек – 53 см, у 1 девочки – 49 см, у 9 девочек – 52 см, у 8 девочек – 50 см, у 1 девочки – 47 см, у 2 девочек – 46 см, у 2 девочек – 54 см, у 1 девочки – 55 см, у 1 девочки – 56 см.
Определите среднюю длину тела новорожденных девочек. Достоверно ли она отличается от длины тела новорожденных мальчиков (при уровне значимости p < 0,05), если по данным этого же родильного дома 1 мальчик
родился с длиной тела 56 см, 1 мальчик – 55 см, 3 мальчика – 46 см, 7 мальчиков – 52 см, 2 мальчика – 45 см, 10 мальчиков – 50 см, 3 мальчика – 54 см, 5 мальчиков – 53 см, 5 мальчиков – 49 см, 11 мальчиков – 51 см, 2 мальчика – 48 см, 3 мальчика – 47 см?
Вариант 7
В районе N, где расположена тепловая электростанция, в одной из точек жилого поселка было взято 50 проб атмосферного воздуха. Уровень пыли составил: 0,14 мг/м3 в 15 пробах; 0,16 мг/м3 в 8 пробах; 0,13 мг/м3 в 2 пробах; 0,2 мг/м3 в 15 пробах; 0,18 мг/м3 в 6 пробах; 0,17 мг/м3 в 4 пробах. После установки золоуловителя количество пыли в пробах воздуха измерялось следующими цифрами: 0,09 мг/м3 в 2 пробах; 0,08 мг/м3 в 2 пробах; 0,05 мг/м3 в 16 пробах; 0,02 мг/м3 в 20 пробах; 0,14 мг/м3 в 2 пробах.
Определите среднюю концентрацию пыли в атмосферном воздухе до и после установки золоуловителя. Определите, достоверно ли уменьшилась среднесуточная концентрация пыли после введения в действие золоуловителя с уровнем значимости p < 0,05?
Вариант 8
В питьевой воде, которой снабжаются дома жителей города N, определялась концентрация соединений фтора. В 4 пробах было
обнаружено 0,5 мг/л этих соединений, в 5 – 0,6 мг/л, в 2 – 0,3 мг/л, в 3 – 0,4 мг/л, в 8 – 0,8 мг/л, в 10 – 0,9 мг/л, в 9 – 1,2 мг/л, в 12 – 1,1 мг/л, в 8 – 1,3 мг/л, в 17 – 1,0 мг/л, в 8 – 1,5 мг/л, в 7 – 1,6 мг/л, в 7 –0,7 мг/л, в 9 – 1,4 мг/л, в 1 – 0,2 мг/л.
Одновременно в городе M были получены следующие результаты: в 15 пробах было обнаружено 0,1 мг/л соединений фтора, в 10 – 0,09 мг/л, в 12 – 0,2 мг/л, в 8 – 0,05 мг/л, в 9 – 0,08 мг/л, в 17 – 0,15 мг/л, в 18 – 0,13 мг/л, в 2 – 1,1 мг/л, в 2 – 0,01 мг/л, в 3 – 1,0 мг/л, в 3 – 0,02 мг/л, в 4 – 0,03 мг/л, в 9 – 0,3 мг/л, в 5 –0,4 мг/л, в 4 – 0,7 мг/л.
Определите среднюю концентрацию соединений фтора в питьевой воде городов N и M. Установите, достоверно ли отличается средняя концентрация фторидов в питьевой воде города N от уровня фтора в воде города M при уровне значимости p < 0,05?
Вариант 9
При обследовании группы школьников 4-х классов сельского района А было установлено, что 2 человека имели по 5 кариозных зубов, 28 человек – по 1 кариозному зубу, 8 человек – по 4 кариозных зуба, 1 человек – 8 кариозных зубов, 20 человек – по 3 кариозных зуба, 16 человек – по 2 кариозных зуба и 6 человек не имели пораженных кариесом зубов.
При обследовании аналогичной группы школьников в районе Б были получены следующие результаты: 8 человек по 1 кариозному зубу, 15 человек – по 4 кариозных зуба, 26 человека имели по 5 кариозных зубов, 1 человек – 8 кариозных зубов, 10 человек – по 3 кариозных зуба, 11 человек – по 2 кариозных зуба и 2 человека не имели пораженных кариесом зубов.
Определите средние величины поражения кариесом школьников районов А и Б. Установите, достоверно ли они отличаются при уровне значимости p < 0,05?
Вариант 10
Перед сдачей экзамена у студентов определялась частота пульса. Были получены следующие данные: у 2 студентов – 76 ударов в минуту, у 3 студентов – 80 ударов в минуту, у 4 студентов – 108 ударов в минуту, у 2 студентов – 116 ударов в минуту, у 20 студентов – 88 ударов в минуту, у 6 студентов – 98 ударов в минуту, у 17 студентов – 86 ударов в минуту, у 11 студентов – 92 удара в минуту.
Определите среднюю частоту пульса у студентов перед экзаменом. Достоверно ли отличается показатель частоты пульса перед экзаменом от частоты пульса у этих же студентов после экзамена (при уровне значимости p < 0,05), если известно, что она составляла у 19 студентов – 78 ударов в минуту, у 3 студентов – 76 ударов в минуту, у 3 студентов – 75 ударов в минуту, у 4 студентов – 75 ударов в минуту, у 2 студентов – 85 ударов в минуту, у 6 студентов – 82 удара в минуту, у 17 студентов – 79 ударов в минуту, у 11 студентов – 81 удар в минуту?
Вариант 11
Исследовалась длительность лечения больных пневмонией в стационаре центральной районной больницы района N. Были получены следующие результаты: 25 дней лечилось 2 больных, 26 дней – 1 больной, 11 дней – 1 больной, 12 дней – 1 больной, 23 дня – 3 больных, 13 дней – 1 больной, 21 день – 3 больных, 24 дня – 1 больной, 22 дня – 3 больных, 14 дней – 2 больных, 20 дней – 5 больных, 15 дней – 2 больных, 16 дней – 3 больных,
17 дней – 4 больных, 19 дней – 8 больных, 18 дней – 7 больных.
Рассчитайте среднюю длительность лечения пневмонии. Достоверно ли она
отличается от аналогичного показателя больницы соседнего района М
(при уровне значимости p < 0,05), если известно, что в этой больнице 25 дней лечился 1 больной, 21 день – 2 больных, 11 дней – 26 больных, 12 дней – 18 больных, 23 дня – 3 больных, 13 дней – 10 больных, 21 день – 3 больных, 24 дня – 1 больной, 22 дня – 3 больных, 14 дней – 6 больных, 20 дней – 5 больных, 15 дней – 7 больных, 16 дней – 5 больных, 17 дней – 4 больных, 19 дней – 1 больной, 18 дней – 1 больной?
Вариант 12
В родильном доме города N изучалась длина тела новорожденных девочек. Были получены следующие данные: у 8 девочек
длина тела составила 48 см, у 6 девочек – 51 см, у 7 девочек – 53 см, у 1 девочки – 49 см, у 9 девочек – 52 см, у 8 девочек – 50 см, у 1 девочки – 47 см, у 2 девочек – 46 см, у 2 девочек – 54 см, у 1 девочки – 55 см, у 1 девочки – 56 см.
Определите среднюю длину тела новорожденных девочек. Достоверно ли она отличается от длины тела новорожденных мальчиков (при уровне значимости p < 0,05), если по данным этого же родильного дома 1 мальчик
родился с длиной тела 56 см, 1 мальчик – 55 см, 3 мальчика – 46 см, 7 мальчиков – 52 см, 2 мальчика – 45 см, 10 мальчиков – 50 см, 3 мальчика – 54 см, 5 мальчиков – 53 см, 5 мальчиков – 49 см, 11 мальчиков – 51 см, 2 мальчика – 48 см, 3 мальчика – 47 см?
