Образцы решения заданий по теме «Уравнения и неравенства смешанного типа»

Задание №1. Решить неравенство

Образец решения: Так как , то . Используя схему , получим . Используя замену , О.Д.З.:  для множителя , получим .

Решим неравенство  методом интервалов.

Пусть

Корни выражения . Нанесем все на числовую ось:  

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

ü Определение модуля: .

ü Равносильность модульного неравенства: .

ü Метод замены функции: , О.Д.З.: .

ü Обобщенный метод интервалов.

ü Равносильность уравнения:

Задание №2. Решить неравенство 

Образец решения: О.Д.З.: .

.

Ответ:

Для решения используем следующие знания:

ü Метод замены функции: схема замен функций , О.Д.З.:

ü Метод замены функции: функции: схема замен функций: .

ü Формулы сокращенного умножения.

ü Решение неравенств методом интервалов.

Задание №3. Решить неравенство

Образец решения: Рассмотрим функцию . , так как .

В области допустимых значений функции  применим метод замены функции и решим неравенство методом интервалов.

.

 

. Решим последнее неравенство методом интервалов и с учетом , получим ответ .

Ответ:

Для решения используем следующие знания:

ü ОДЗ(f)алгебраических выражений: .

ü Свойства логарифма числа 1: .

ü Решение неравенств методом интервалов.

ü Решение полного квадратного уравнения.

ü Решение квадратичного неравенства: .

ü Равносильность неравенства: .

ü Метод замены функции: функции: схема замен функций , О.Д.З.:

Задание №4. Решить неравенство

Образец решения: Пусть , где ,

. Применим обобщенный метод интервалов:

1. .     

.

2. =   

.

3.

4. Определим знак  на промежутке :

 и

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

ü ОДЗ(f)алгебраических выражений:

ü ОДЗ(f)алгебраических выражений: .

ü Свойство корня четной степени :  

ü Свойство степени aⁿ c натуральным показателем: .

Задание №5. Решить неравенство

Образец решения: Рассмотрим функцию .

Воспользуемся методом замены функции (схема замены из главы 3. нашего исследования). Применим схему , О.Д.З.:

В области допустимых значений функции  применим метод замены функции и решим неравенство методом интервалов.

Найдем нули функции

Решим последнее неравенство методом интервалов и с учетом  и ,

получим ответ .

Ответ: .

Для решения используем следующие знания:

ü Метод замены функции: функции: схема замен функций: , О.Д.З.:

ü ОДЗ(f)алгебраических выражений: .

ü ОДЗ(f)алгебраических выражений: , О.Д.З.: .

ü

ü Равносильность неравенства: