Место дисциплины в структуре образовательной программы

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 6

АННОТАЦИЯ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА.. 7

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.. 9

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 11

1.1 Множества и операции над ними. Основные определения. 11

1.1.1. Действия над множествами. 11

1.1.2 Границы числовых множеств. 11

1.2. Предел числовой последовательности. 12

1.2.1 Определение последовательности и ее предела. 12

1.2.2 Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. 12

1.2.3 Свойствасходящихся последовательностей. 13

1.3 Предел функции. 13

1.3.1 Два определения предела функции. 13

1.3.2 Односторонние пределы.. 14

1.3.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины.. 14

1.3.4 Практическое вычисление пределов. 15

1.3.5 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. 15

1.3.6 Эквивалентные бесконечно малые величины.. 16

1.3.7 Решение типовых примеров. 16

1.3.8 Таблица основных пределов анализа. 20

1.4 Непрерывность функции. 21

1.4.1 Два определения непрерывности функции в точке. 21

1.4.2 Свойства непрерывных функций. 21

1.4.3 Точки разрыва функции и их классификация. 21

1.4.4 Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке. 21

1.5 Контрольные вопросы по разделу «Введение в математический анализ». 22

1.6 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Введение в математический анализ». 22

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ              переменной.. 25

2.1 Производная. 25

2.1.1 Геометрический смысл производной. 25

2.1.2 Физический смысл производной. 25

2.1.3 Понятие дифференцируемости функции в данной точке. 26

2.2. Основные правила дифференцирования функции. 26

2.2.1 Производная постоянной величины.. 26

2.2.2 Производная суммы.. 26

2.2.3 Производная произведения. 26

2.2.5 Производная сложной функции. 27

2.2.6 Производная обратной функции. 27

2.2.7 Производная неявной функции. 27

2.2.8 Производная функции, заданной параметрически. 27

2.3 Таблица производных для основных элементарных функций. 28

2.4. Дифференциал функции. 28

2.4.1 Определение дифференциала. 28

2.4.2 Геометрический смысл дифференциала. 29

2.4.3 Свойства дифференциала. 29

2.4.4 Приближенное вычисление с помощью дифференциала. 29

2.5. Производные и дифференциалы высших порядков. 29

2.5.1 Производная n -го порядка. 29

2.5.2 Дифференциалы высших порядков. 30

2.6. Основные теоремы дифференциального исчисления. 30

2.6.1 Теорема Ферма. 30

2.6.2 Теорема Ролля (о корнях производной) 30

2.6.2 Теорема Лагранжа (о конечном приращении). 30

2.6.3 Теорема Коши. 31

2.6.3 Решение типовых примеров. 31

2.7 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 33

2.8 Исследование функций и построение их графиков. 34

2.8.1 Признаки возрастания и убывания функции. 34

2.8.2 Необходимое условие экстремума. 34

2.8.3 Достаточное условие экстремума. 34

2.8.4 Достаточное условие выпуклости вверх(вниз) графика функции. 35

2.8.5 Асимптоты.. 35

2.8.6 Построение графиков функций по характерным точкам.. 36

2.9 Контрольные вопросы по разделу «Дифференциальное исчисление функции одной переменной.». 44

2.10 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Дифференциальное исчисление функции одной переменной.». 44

3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. 46

3.1 Первообразная и неопределенный интеграл. 46

3.2 Основные свойства неопределенного интеграла. 47

3.3 Таблица интегралов. 48

3.4 Методы непосредственного интегрирования. 48

3.4.1 Метод разложения. 49

3.4.2 Внесение постоянного множителя под знак дифференциала. 50

3.4.3 Внесение переменной под знак дифференциала. 52

3.5 Интегрирование по частям.. 54

3.6 Замена переменной в неопределенном интеграле. 56

3.7 Интегрирование рациональных дробей. 58

3.8 Различные виды подстановок в неопределенном интеграле. 61

3.8.1 Универсальная тригонометрическая подстановка. 61

3.8.2 Другие тригонометрические подстановки. 61

3.8.3 Интегралы типа .............................. 61

3.8.4 Использование тригонометрических преобразований. 61

3.8.5 Интегрирование иррациональных функций. 62

3.8.6 Интегралы типа . 62

3.8.7 Интегралы вида ......................................... 62

3.8.8 Интегралы вида , , .............................. 62

3.8.9 Интегралы вида ............................ 62

3.9 Контрольные вопросы по разделу «Неопределенный интеграл». 63

3.10 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Неопределенный интеграл». 63

4. определенный интеграл.. 64

4.1 Интегральная сумма и ее предел. Определенный интеграл. 64

4.2. Основные свойства определенного интеграла. 65

4.3 Правила вычисления определенных интегралов. 65

4.3.1 Формула Ньютона-Лейбница: 65

4.3.2 Интегрирование по частям в определенном интеграле. 66

4.3.3 Замена переменной в определенном интеграле. 67

4.4 Приложения определенного интеграла. 67

4.4.1 Вычисление площади плоской фигуры. 67

4.4.2 Вычисление длины дуги плоской кривой. 70

4.4.3 Вычисление объема тела вращения. 71

4.5 Контрольные вопросы по разделу «Определенный интеграл». 73

4.6 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Определенный интеграл». 73

5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ... 74

5.1 Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 75

5.2 Интегралы от неограниченных функций. 75

5.3 Контрольные вопросы по разделу «Несобственные интегралы». 77

5.4 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела «Несобственные интегралы». 77

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.. 78

6.1. Частные производные. 78

6.2. Полный дифференциал. 78

6.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. 79

6.3.1 Дифференцирование сложных функций. 79

6.3.2 Дифференцирование неявных функций. 80

6.4. Экстремум функции двух независимых переменных. 81

6.4.1 Необходимые условия экстремума.. 81

6.4.2 Достаточные условия экстремума. 81

6.5 Контрольные вопросы по разделу «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». 82

6.6 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела ««Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». 82

7. Дифференциальные уравнения. 83

7.1. Дифференциальное уравнение, его порядок и частное решение.Задача Коши. 84

7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. 85

7.3. Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 87

7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка.. 89

7.5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 89

7.6. Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов. 91

7.7 Решение неоднородных линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 95

7.8 Контрольные вопросы по разделу «Дифференциальные уравнения». 96

7.9 Задачи для проведения промежуточного контроля усвоения материала раздела ««Дифференциальные уравнения». 97

8. Образец теста по темам, пройденным в семестре. 98

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 99

9.1 Паспорт фонда оценочных средств для проведения текущей и. 100

9.2  Критерии оценивания результата обучения по дисциплине и. 100

10. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 102

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Электронное учебное пособие по дисциплине «Математика» направлено на формирование общепрофессиональных компетенций в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом по уровню бакалавриата:

- ОПК-3 Способность применять систему фундаментальных знаний (математических, инженерных, экономических) для идентификации, формулирования и решения технических и технологических проблем в области технологии, организации, планирования и управления технической и коммерческой эксплуатацией транспортных систем

- ПК-18 Способность использовать современные информационные технологии как инструмент оптимизации процессов управления в транспортном комплексе.

 

Электронное учебное пособие предназначено для обучающихся по направлению подготовки бакалавриата 23.03.01 – Технология транспортных процессов. Организация перевозок и управление на водном транспорте, может быть использовано при изучении других дисциплин, направленных на формирование универсальных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций.

В электронном учебном пособии содержится материал для самостоятельной работы обучающихся по разделам и темам 2 семестра 1 курса. В эл. пособие включены следующие разделы:

1. Введение в математический анализ.

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

3. Неопределенный интеграл.

4. Определенный интеграл

5. Несобственный интеграл.

6. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

7. Дифференциальные уравнения.

Цель электронного учебного пособия – обеспечить возможность самостоятельной работы обучающихся во 2-ом семестре 1 курса при осуществлении перехода на дистанционные методы обучения.

Содержание данного электронного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины «Математика» и основано на материалах отечественных и зарубежных исследований, включая современные публикации.

Каждый раздел электронного учебного пособия включает контрольные вопросы и задания для проверки усвоения материала.

 

 

 

   АННОТАЦИЯ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА

Место дисциплины в структуре образовательной программы 

            Дисциплина «Математика» относится к базовой части Блока 1 основной образовательной программы бакалавра и изучается на 1 и 2 курсе в I-III семестрах по очной форме обучения.

Дисциплина «Математика» относится к числу курсов, составляющих фундамент математического образования, основная задача курса: привить навыки решения типичных задач, научить студентов прилагать полученные теоретические знания к решению сугубо практических задач.

Входные знания студента: изучение дисциплины базируется на знаниях,

 полученных при освоении математики в средней школе.

Обучение математике строится на междисциплинарной интегративной

основе. Принцип интегративности предполагает интеграцию знаний из различных предметных дисциплин.

Изучение и успешная аттестация по математике являются необходимыми

для эффективного освоения других базовых и вариативных дисциплин блока 1: «Экономика транспорта», «Стратегический менеджмент», «Управление работой флота и портов», «Транспортная статистика» и др.