Основные свойства определенного интеграла

 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. где постоянная,
6. Если  при  то
7. Если  наименьшее, а  наибольшее значения функции  на отрезке , то
8. Теорема о среднем.

     Если функция  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдется такая точка  что Число называется средним значением функции  на отрезке

 

Правила вычисления определенных интегралов.

4.3.1 Формула Ньютона-Лейбница:

 При вычислении определенного интеграла следует пользоваться формулой Ньютона-Лейбница.  

Эта формула дает удобное правило вычисления определенного интеграла.

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке , а  ее произвольная первообразная на этом отрезке, то

                          

(т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования).

 

Пример 1. Вычислить определенные интегралы:

                а) ,                 б) .

Решение:

а)    Преобразуем подынтегральную функцию, используя известную формулу квадрата разности:

=

 

б)

Раскроем скобки и проинтегрируем

 .

 

               4.3.2 Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Если функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

                                                                                    

где символ  обозначает разность

Применение формулы (21) мало чем отличается от применения соответствующей формулы для неопределенного интеграла. Поэтому мы ограничимся приведением примера.

 

Пример 2. Найти определенный интеграл:

Решение: Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим  откуда  Тогда