2020-06-08
139
Пусть дана некоторая кривая (траектория точки). Возьмем на ней две близкие точки 
и 
, и длину дуги 
обозначим через 
. Проведем в точках 
и 
касательные к данной кривой. Угол между касательными, называемый углом смежности и измеряемый в радианах, обозначим 
. Отношение 
называется средней кривизной дуги .
рис. 8
Предел, к которому стремится средняя кривизна дуги 
, когда точка 
неограниченно приближается к точке , называется кривизной данной линии в точке А. Если обозначить кривизну через К, то получаем
Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны данной кривой в точке А. Обозначим радиус кривизны через r, тогда
, или 
Рассмотрим частные случаи: чему равен радиус кривизны для прямой линии и окружности радиуса 
.
1. Для прямой линии кривизна равна нулю 
, K=0, r=µ.
2. Для окружности радиуса
, но Ds=RDj, K=1/R, тогда r=R.
Таким образом, радиус кривизны окружности равен ее радиусу. Отсюда следует, что радиус кривизны кривой линии есть радиус такой окружности, которая имеет с данной кривой в данной точке одинаковую кривизну.
Если траектория точки есть плоская кривая, заданная уравнением y=f(x), то радиус кривизны в произвольной точке этой кривой можно определить по общей формуле, которая выводится в дифференциальном исчислении:
