Естественные оси, естественный трехгранник

Рассмотрим траекторию движения точки (рис. 10.13). Положение точки  на траектории будем определять дуговой координатой , отсчитываемой от произвольно выбранной на траектории неподвижной точки .

рис. 9

Проведем через точку  касательную к траектории и будем определять положительное направление этой касательной единичным вектором , направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты  и равным по модулю единице. Этот вектор  называется ортом касательной. Если провести через точку  плоскость, перпендикулярную к касательной в этой точке, то такая плоскость называется нормальной (рис. 9). Любая прямая, проведенная через точку  в нормальной плоскости, перпендикулярна к касательной  и является нормалью траектории в точке .

Теперь возьмем на траектории точку , близкую к точке  (рис. 9). Орт касательной в этой точке обозначим . Построим плоскость, проходящую через два вектора  и , а затем будем точку  неограниченно приближать к точке  так, чтобы в пределе эти точки совпали. Так как при этом направление вектора  будет изменяться, то будет изменяться и положение этой плоскости. Очевидно, что она будет вращаться вокруг вектора , приближаясь к некоторому предельному положению. Плоскость, представляющая собой предельное положение плоскости, построенной на векторах  и , при стремлении точки  к точке , называется соприкасающейся плоскостью данной кривой в точке  (рис. 9). Из этого определения следует, что касательная в точке  лежит в соприкасающейся плоскости и для случая плоской траектории соприкасающаяся плоскость совпадает с той плоскостью, в которой расположена эта траектория.

Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, т.е. линия пересечения нормальной и соприкасающихся плоскостей, называется главной нормалью данной кривой в точке .

За положительное направление главной нормали принимается направление от точки  в сторону вогнутости траектории, и это направление определяют единичным вектором . Вектор  называется ортом главной нормали (рис. 9). Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью, а ее направление определяется орт вектором  (рис. 9). Плоскость, построенная на касательной и бинормали, называется спрямляющей плоскостью.

Три оси, имеющие начало в точке  и направленные по касательной, главной нормали и бинормали к траектории в этой точке, называются естественными осями и являются ребрами триэдра, или естественного трехгранника.

Естественный трехгранник представляет собой прямоугольную систему координат, отличающуюся от декартовой тем, что за начало координат здесь принимается движущаяся точка, т.е. естественный трехгранник с течением времени меняет свое положение в пространстве, двигаясь с точкой .