Уравнение непрерывности

Глава 3. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Сила и плотность тока

Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Заряды, образующие электрический ток, называются носителями тока. Для существования электрического тока в проводящей среде необходимо наличие носителей тока и электрического поля внутри проводника. Под направлением тока понимается направление вектора плотности тока:

,                                       (3.1)

где – объемная плотность носителей тока, – скорость их упорядоченного движения.

Заряд, переносимый через площадку , перпендикулярную плотности тока , за промежуток времени  равен

             ,

         отсюда

              ,       (3.2)

                                                        где – сила тока, (количественная характеристика) равная величине заряда , переносимого через поверхность  в единицу времени. Для постоянного тока

.

Элементарная сила тока, через поверхность , из (3.2)

                  .                  (3.3)

Зная вектор плотности тока  в каждой точке интересующей нас поверхности (), можно найти и силу тока через эту поверхность как поток вектора :

                                            .                                (3.4)

Сила тока – величина скалярная и алгебраическая.

Единица электрического тока в СИ: .

Единица электрического заряда в СИ: .

Единица плотности тока в СИ: .

Уравнение непрерывности

Рассмотрим область  некоторой среды, в которой течет ток плотности , и ограничим ее замкнутой поверхностью . Допустим, что заряд внутри области уменьшается с течением времени. Тогда скорость убывания заряда , содержащегося в объеме :

                                   .                                      (3.5)

Представим:  

,

тогда уравнение (3.5) можно записать в виде

              ,                (3.6)

(, так как  может зависеть не только от времени, но и от координат).

Преобразуем левую часть равенства (3.6) по теореме Остроградского- Гаусса, получим

                       .                            (3.7)

(3.7) – уравнение непрерывности в интегральной форме.

Равенство (3.7) должно выполняться при произвольном выборе , по которому берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если в каждой точке пространства объема  выполняется условие:

                                .                                            (3.8)

(3.8) – уравнение непрерывности в дифференциальной форме.

Физический смысл (3.8): в точках, которые являются источником вектора  происходит убывание электрического заряда.

Для стационарного тока:  и , следовательно , и (3.8) примет вид         

                                         .                                 (3.9)

 (3.9) – уравнение непрерывности для стационарного тока.

Таким образом, в случае стационарного (постоянного) тока вектор  не имеет источников. Это означает, что линии тока замкнуты сами на себя.

Электродвижущая сила

Под действием кулоновских сил взаимодействия, положительные носители тока в проводнике перемещаются от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители движутся в обратном направлении. Это приводит к выравниванию потенциалов во всех точках проводника и исчезновению электрического тока. Поэтому поле кулоновских сил не может вызвать постоянный во времени процесс упорядоченного движения зарядов, т.е. постоянный ток. Следовательно, для существования постоянного тока в проводнике необходимо наличие сил не электростатического происхождения (сторонних сил), которые бы переносили положительные заряды против сил электрического поля в сторону возрастания потенциала, тем самым, поддерживая постоянную разность потенциалов на его концах. То есть, необходимо создать замкнутую проводящую цепь, в которой на носители тока действуют не только кулоновские, но также сторонние силы.

Природа сторонних сил может быть разной: химической, механической и т.д. Сторонние силы характеризуются электродвижущей силой (ЭДС), действующей в цепи или на некотором ее участке:

                         ,                                           (3.10)

где – работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда  на рассматриваемом участке цепи.

Добавочное поле сторонних сил создается источниками электрической энергии (батарейки, аккумуляторы, генераторы).

Закон Ома

Ом экспериментально установил закон: сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику пропорциональна напряжению на проводнике, т.е. ,  или с учетом коэффициента пропорциональности , получим

                                 ,                                       (3.11)

где электрическое сопротивление проводника.

Для однородного проводника: .

Величина сопротивления зависит от формы, размеров и материала проводника.

Для однородного цилиндрического проводника

                                     ,                               (3.12)

где длина проводника; площадь его поперечного сечения;  удельное электрическое сопротивление проводника.

Величина, обратная удельному электрическому сопротивлению, называется удельной электрической проводимостью проводника

                                    .                                          (3.13)

Найдем связь между плотностью тока  и полем  в локальной форме. Рассмотрим изотропный проводник, выделим в нем элементарный цилиндр объемом . Будем считать .

Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой . Напряжение, между концами цилиндра .

Сопротивление цилиндра , тогда закон Ома для элементарного проводника в виде цилиндра в каждой точке среды: .

Из (3.3)

,     

или                                        .

С учетом того, что  и  имеют одинаковое направление, можно написать

                                           .                             (3.14)

(3.14) – закон Ома в дифференциальной (локальной) форме.