Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля , т. н. потенциала векторного поля : , или , , .
Для того, чтобы, поле было потенциальным в некоторой области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
1) в области ;
2) циркуляция по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру равна нулю: ;
3) работа векторного поля вдоль контура, соединяющего точки и из области , не зависит от этого контура, а является функцией начальной и конечной точки: .
Последняя формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница для определенного интеграла, позволяет найти потенциал векторного поля: . Здесь – начальная точка с фиксированными координатами ; – текущая точка области ; – произвольная постоянная. Для вычисления интеграла в качестве контура обычно выбирают ломаную линию со звеньями, параллельными координатным осям.
Заметим, что если поле потенциально, выражение является полным дифференциалом функции .
|
|