2020-06-29
162
Векторное поле 
называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля 
, т. н. потенциала векторного поля 
: 
, или 
, 
, 
.
Для того, чтобы, поле было потенциальным в некоторой области 
, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
1) 
в области ;
2) циркуляция по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру 
равна нулю: 
;
3) работа векторного поля вдоль контура, соединяющего точки 
и 
из области , не зависит от этого контура, а является функцией начальной и конечной точки: 
.
Последняя формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница для определенного интеграла, позволяет найти потенциал векторного поля: 
. Здесь 
– начальная точка с фиксированными координатами 
; 
– текущая точка области 
; 
– произвольная постоянная. Для вычисления интеграла в качестве контура обычно выбирают ломаную линию со звеньями, параллельными координатным осям.
Заметим, что если поле потенциально, выражение 
является полным дифференциалом функции .
