Векторное поле называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля : . Поле называется векторным потенциалом поля .
Для того, чтобы, поле было соленоидальным в некоторой области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
1) в области ;
2) поток через любую кусочно-гладкую замкнутую поверхность равен нулю: ;
3) поток поля через любую кусочно-гладкую поверхность не зависит от формы этой поверхности, а зависит только от контура , который является границей поверхности (рис. 16.1).
Векторный потенциал поля определяется с точностью до градиента произвольной дифференцируемой функции: , где и – два векторных потенциала одного и того же поля .
Этим обстоятельством пользуются при отыскании векторного потенциала. Именно, полагают одну из компонент поля равной нулю. Пусть, для определенности , тогда из равенства или, в подробной записи, следует, что , , . Интегрируя эту систему, получаем некоторый потенциал данного поля . Общее решение имеет вид , где – любая дифференцируемая функция.
|
|
В заключение отметим, что произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.