Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

1 2 3 4 5 6 7

ЗАНЯТИЕ № 8

ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ

ЧАСТЬ А)

РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА СТОКСА

Ротор векторного поля

Ротором векторного поля называется векторная функция, которую в декартовых координатах определяют формулой .

В результате разложения определителя по первой строке получим

Ротор является дифференциальным оператором первого порядка. Он обладает свойством линейности: , где — числовая константа.

Отметим, что в криволинейных координатах (например, в цилиндрических или сферических) формула для вычисления ротора имеет другой вид.

Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

Рис. 16.1

Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру . Если поле является непрерывно дифференцируемым, а контур – кусочно-гладким, то циркуляция равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную кусочно-гладкую поверхность , ограниченную контуром :

(формула Стокса).

Направление обхода контура и выбор стороны поверхности согласованы следующим образом: если смотреть из конца нормали , то обход контура осуществляется против часовой стрелки (рис. 16.1). При изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак.

Формула Стокса является обобщением формулы Грина (см. п. 14.3) на пространственный случай.

В координатной записи она имеет вид

Здесь , , – координаты единичной нормали к поверхности , опирающейся на контур , а , и – компоненты векторного поля .

Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории

16.3.1. Вычислить ротор векторного поля .

Решение. Здесь , и . Компоненты ротора равны , ,

Итак, .

16.3.2. Найти по формуле Стокса циркуляцию векторного поля по окружности , , , ориентированной против часовой стрелки при взгляде на нее из начала координат.

Решение. Выберем в качестве поверхности , ограниченной данной окружностью , круг при . Поскольку контур обходится против часовой стрелки при взгляде из начала координат, согласованной единичной нормалью к поверхности является вектор . Найдем ротор векторного поля: , тогда . По формуле Стокса , где – площадь круга , радиус которого равен единице.

16.3.3. Вычислить циркуляцию вектора вдоль контура : в направлении, соответствующем возрастанию параметра . Задачу решить по формуле Стокса и прямым вычислением.

Решение. Как видно из параметрического задания кривой, — это эллипс, являющийся пересечением цилиндра и плоскости . В качестве поверхности , опирающейся на контур , возьмем часть этой плоскости, ограниченную данным эллипсом. Если смотреть из начала координат, при возрастании контур обходится по часовой стрелке, поэтому нормалью к , согласованной с направлением обхода контура, будет единичный нормальный вектор плоскости с положительной аппликатой, т. е. .

Теперь найдем ротор:

. Скалярное произведение . По формуле Стокса циркуляция равна . Проекцией эллипса на плоскость является окружность , ограничивающая круг, площадь которого равна . Косинус угла между плоскостями и равен , тогда по формуле площади проекции .

Вычислим теперь циркуляцию непосредственно, используя параметрическое задание контура:

16.3.4. Найти циркуляцию вектора вдоль контура , вырезанного на параболоиде плоскостями , , при , . Контур обходится по часовой стрелке при взгляде со стороны положительных значений координаты .

Рис. 16.2

Решение. Контур состоит из двух дуг парабол и четверти окружности (рис. 16.2). Направление обхода контура, указанное в условии, соответствует выбору внешней нормали к параболоиду, т. е. нормали с отрицательной аппликатой. В качестве поверхности , ограниченной контуром , выберем часть параболоида.

По формуле Стокса

Вычислим ротор

. Чтобы найти поток ротора, выберем метод проектирования на одну координатную плоскость, изложенный в п. 13.1, а именно, на плоскость . Проекцией поверхности является четверть круга радиуса . Уравнение поверхности : , компоненты ротора , , . Учтем, что, в отличие от п. 13.1, мы выбрали нормаль к , составляющую тупой, а не острый угол с осью , поэтому

Итак, циркуляция равна .

16.3.5. Найти циркуляцию векторного поля вдоль эллипса, образованного пересечением эллипсоида с плоскостью .

Решение. Ротор этого поля найден в примере 16.3.1. В качестве поверхности, опирающейся на контур, выберем участок плоскости внутри эллипсоида . Единичная нормаль к плоскости равна , . На выбранной поверхности . Исключим из уравнений эллипсоида и плоскости : , или . Следовательно, проекция поверхности интегрирования на плоскость есть круг радиуса 1. По формуле Стокса получаем: