2020-06-29
3094
ЗАНЯТИЕ № 8
ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ
ЧАСТЬ А)
РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ФОРМУЛА СТОКСА
Ротор векторного поля
Ротором векторного поля 
называется векторная функция, которую в декартовых координатах определяют формулой 
.
В результате разложения определителя по первой строке получим
.
Ротор является дифференциальным оператором первого порядка. Он обладает свойством линейности: 
, где 
— числовая константа.
Отметим, что в криволинейных координатах (например, в цилиндрических или сферических) формула для вычисления ротора имеет другой вид.
Циркуляция векторного поля. Формула Стокса
 |
| Рис. 16.1 |
Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл 2-го рода 
по замкнутому контуру 
. Если поле является непрерывно дифференцируемым, а контур – кусочно-гладким, то циркуляция равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную кусочно-гладкую поверхность 
, ограниченную контуром :
(формула Стокса).
Направление обхода контура и выбор стороны поверхности согласованы следующим образом: если смотреть из конца нормали 
, то обход контура осуществляется против часовой стрелки (рис. 16.1). При изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак.
Формула Стокса является обобщением формулы Грина (см. п. 14.3) на пространственный случай.
В координатной записи она имеет вид
.
Здесь 
, 
, 
– координаты единичной нормали к поверхности , опирающейся на контур , а 
, 
и 
– компоненты векторного поля .
Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории
16.3.1. Вычислить ротор векторного поля 
.
Решение. Здесь 
, 
и 
. Компоненты ротора равны 
, 
,
.
Итак, 
.
16.3.2. Найти по формуле Стокса циркуляцию векторного поля 
по окружности 
, 
, 
, ориентированной против часовой стрелки при взгляде на нее из начала координат.
Решение. Выберем в качестве поверхности , ограниченной данной окружностью , круг 
при . Поскольку контур обходится против часовой стрелки при взгляде из начала координат, согласованной единичной нормалью к поверхности является вектор 
. Найдем ротор векторного поля: 
, тогда 
. По формуле Стокса 
, где 
– площадь круга , радиус которого равен единице.
16.3.3. Вычислить циркуляцию вектора 
вдоль контура : 
в направлении, соответствующем возрастанию параметра 
. Задачу решить по формуле Стокса и прямым вычислением.
Решение. Как видно из параметрического задания кривой, — это эллипс, являющийся пересечением цилиндра 
и плоскости 
. В качестве поверхности , опирающейся на контур , возьмем часть этой плоскости, ограниченную данным эллипсом. Если смотреть из начала координат, при возрастании контур обходится по часовой стрелке, поэтому нормалью к , согласованной с направлением обхода контура, будет единичный нормальный вектор плоскости 
с положительной аппликатой, т. е. 
.
Теперь найдем ротор:
. Скалярное произведение 
. По формуле Стокса циркуляция равна 
. Проекцией эллипса на плоскость 
является окружность , ограничивающая круг, площадь которого равна 
. Косинус угла между плоскостями и равен 
, тогда по формуле площади проекции 
.
Вычислим теперь циркуляцию непосредственно, используя параметрическое задание контура: 
.
16.3.4. Найти циркуляцию вектора 
вдоль контура , вырезанного на параболоиде 
плоскостями 
, 
, 
при 
, 
. Контур обходится по часовой стрелке при взгляде со стороны положительных значений координаты 
.
 |
| Рис. 16.2 |
Решение. Контур состоит из двух дуг парабол и четверти окружности (рис. 16.2). Направление обхода контура, указанное в условии, соответствует выбору внешней нормали к параболоиду, т. е. нормали с отрицательной аппликатой. В качестве поверхности , ограниченной контуром , выберем часть параболоида.
По формуле Стокса 
Вычислим ротор
. Чтобы найти поток ротора, выберем метод проектирования на одну координатную плоскость, изложенный в п. 13.1, а именно, на плоскость 
. Проекцией поверхности является четверть круга 
радиуса 
. Уравнение поверхности : 
, компоненты ротора 
, 
, 
. Учтем, что, в отличие от п. 13.1, мы выбрали нормаль к , составляющую тупой, а не острый угол с осью 
, поэтому
.
Итак, циркуляция равна 
.
16.3.5. Найти циркуляцию векторного поля 
вдоль эллипса, образованного пересечением эллипсоида 
с плоскостью 
.
Решение. Ротор этого поля найден в примере 16.3.1. В качестве поверхности, опирающейся на контур, выберем участок плоскости внутри эллипсоида 
. Единичная нормаль к плоскости равна 
, 
. На выбранной поверхности 
. Исключим из уравнений эллипсоида и плоскости 
: 
, или 
. Следовательно, проекция поверхности интегрирования на плоскость 
есть круг радиуса 1. По формуле Стокса получаем:
. Двойной интеграл вычислим в полярных координатах:
