Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Инструкция по выполнению задания

1. Изучить по учебнику Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических заданий: М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2016 г. тему 2.5 Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении (лекция 28).

2. Выполнить в рабочей тетради конспект лекции «Расчет на прочность и жесткость при кручении».

3. В рабочей тетради решить задачи. Фотографию выполненного задания прислать на электронную почту baranovang1978.baranova@yandex.ru

4. Выполнить расчетно-графическую работу №5 «Проектный расчет вала, работающего на кручение, из условий прочности и жесткости» в соответствии с методическими указаниями. Фотографию выполненного задания прислать на электронную почту baranovang1978.baranova@yandex.ru

Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Разрушение вала при кручении происходит с поверхности. Условие прочности при кручении формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений

τ^max = M_к^max/W_р ≤ [τ_к],

где [τ_к] - допускаемое напряжение кручения (берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу), Н/мм^2;

M_к^max - максимальный крутящий момент в сечении вала, Н·мм;

W_р - полярный момент сопротивления сечения вала, мм³.

Условие прочности может служить основой для трех видов расчетов:

1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Проверяется выполнение условия прочности

τ = M_к^max/W_р ≤ [τ_к]

2. Подбор сечения (проектный расчет). Получим формулу для определения полярного момента сопротивления Wр, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности:

W_р ≥ M_к^max / [τ_к]

Требуемый диаметр вала при найденном Wр определяется из формул:

для круглого сечения W_р= π·d³/16 ≈ 0,2d³

Для кольцевого сечения W_р= π·d³(1-с⁴)/16 ≈ 0,2d³(1-с⁴)

3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение,

[ M_к^max ] = Wр·[τ_к]

Кроме соблюдения условия прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью: т.е. чтобы угол закручивания не превосходил некоторого заданного значения.

Обозначив через φ₀ угол закручивания единичной длины вала, можно составить расчетную формулу для проверки вала на жесткость:

φ₀ = M_к^max/GJ_р≤ [φ₀]

где [φ₀] – допускаемый относительный угол закручивания, рад/мм

M_к^max - максимальный крутящий момент в сечении вала, Н·мм;

G – модуль упругости при сдвиге, Н/мм²;

J_р - полярный момент инерции сечения вала, мм⁴;

Для стали модуль упругости при сдвиге G= 8·10⁴ Н/мм².Произведение GJ_р называют жесткостью сечения.

С помощью условия жесткости решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность:

1. Проверка жесткости (проверочный расчет), когда заданы крутящий момент, размеры и материал вала, а также допускаемый угол закручивания.Проверяется выполнение условия жесткости

φ₀ = M_к^max/GJ_р≤ [φ₀]

2. Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет). Получим формулу для определения полярного момента инерции сечения вала, по условию жесткости J_р = M_к^max/G[φ₀].

При найденном значении J_р диаметр вала определяют из формул:

для круглого сечения J_р= π·d⁴/32≈ 0,1·d⁴

Для кольцевого сечения J_р= π·d⁴(1-с⁴) /32≈ 0,1·d⁴(1-с⁴)

3. Определение допускаемого крутящего момента по условию жесткости

[M_к^max] = GJ_р[φ₀].

Пример 1. Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент М_к = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение [τ]=100 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [φ₀]=8,7·10^-3 рад/м.

Решение:

Из условия прочности вала находим полярный момент сопротивления

Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле: ,

отсюда находим

Из условия жесткости вала: φ₀ = M_к^max/GJ_р≤ [φ₀]

где

– полярный момент инерции сечения вала;

G = 8 ·10⁴ МПа – модуль сдвига стали,

находим

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя стандартный ряд диаметров. Практически округляем полученное значение так, чтобы число оканчивалось на 5 или 0. Окончательно принимаем значение вала d= 150 мм.

Ответ: d_вала= 150 мм

Пример 2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 мин^-1. Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров с= d / D = 0,8, где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [τ] = 80 мПа.

Решение.

1. Найдем крутящий момент, передаваемый валом:

, где - угловая скорость вала.