Тема 6. Екстремум функції двох змінних. Спосіб найменших квадратів

6 7 8 9 10 11 12

План

1.Поняття екстремуму функції.

2.Необхідні умови екстремуму.

3.Достатні умови екстремуму.

4.Побудова лінійної і квадратичної залежності між двома змінними величинами, за допомогою способу найменших квадратів.

5.Умовний екстремум функцій багатьох змінних.

6. Знаходження найбільшого та найменшого значень функції в замкненій області.

Точка М₀(х⁰) є точкою локального максимуму (мінімуму) функції u = f(x), якщо існує такий окіл точки М₀ О(М₀), М=М виконується умова

f(M)< f(M₀) (f(M) > f (M₀)).

Точки локального максимуму і мінімуму називаються точками локального екстремуму.

Необхідні умови екстремуму. Якщо диференційовна функція u = f(x) в точці М₀ має локальний екстремум, то

або

Точки, в яких виконується умова (6.1), називається стаціонарними.

Приклад. Знайти критичні точки функції

Розв`язання. Спочатку знайдемо частинні похідні першого порядку заданої функції двох змінних:

Ці похідні існують для усіх x та y тому критичними будуть лише точки де частинні похідні дорівнюють нулю, тобто

Остання система –лінійна,неоднорідна,з двома невідомими Розв`язуючи, систему за правилом Крамера,одержимо:

Отже критичною точкою буде

Достатні умови екстремуму.

Нехай функція u = f(x) двічі диференційована в точці М₀ та деякому її околі і точка М₀ – стаціонарна точка цієї функції. Тоді

1)якщо диференціал є знаковизначеною квадратичною формою незалежних змінних dx_1,dx₂,.dx_n, то функція u = f(x) має в цій точці екстремум, причому

а) якщо , то точка М₀ точка локального мінімуму,

б) якщо , то точка М₀ точка локального максимуму,

2) якщо другий диференціал і є знакозмінною квадратичною формою незалежних змінних dx_1,dx₂, ….dx_n, то точка М₀ не є точкою локального екстремуму.

3) якщо , екстремум може бути, а може й не бути (потрібне додаткове дослідження).

Запишемо вираз для у вигляді

Введемо позначення для частинних похідних другого порядку, які обчислюються в точці М₀

Тоді

є квадратичною формою змінних dx_1,dx₂, ….dx_n, з матрицею

Головні кутові мінори цієї матриці

Згідно з критерієм Сильвестра знаковизначеності квадратичної форми, квадратична форма додатно визначена, якщо , від`ємно визначена, коли всі головні кутові мінори непарного порядку від`ємні, парного – додатні.

На підставі критерію Сильвестра можна визначити знак другого диференціала в точці М₀, тобто , враховуючи знаки головних кутових мінорів матриці відповідної квадратичної форми. Отже, маємо,

точка локального мінімуму

парне не парне, точка локального максимуму;

критерій Сильвестра не справджується –точка -не є точкою локального екстремуму;

потрібне додаткове дослідження.

Для функцій двох змінних z = f(x,y) другий диференціалмає вигляд

Позначивши

1)якщо >0, то функція z = f(x, y) має в точці М₀ екстремум, зокрема, мінімум при А>0, максимум - при А<0,

2) якщо <0, екстремум у точці М₀ відсутній,

3) якщо =0, потрібне додаткове дослідження.

Знайти екстремум функції

Z=e^x^-^y(x²-2y²)

ОДЗ: ¾ R

Знаходимо стаціонарні точки використовуючи умови екстремуму

(методом додавання)

2x-4y=0

x=2y

Стаціонарні точки

4)Для кожної точки окремо перевіряємо достатні умови екстремуму

М₁¾не є точкою екстремуму

А>0; M₂¾ точка max

Побудова лінійної залежності між двома змінними величинами значення яких додається в таблиці

X	X₁	x₂	…	xi	x_n
Y	Y₁	y₂		yi	y_n

у = kx+b

k₁,b ¾?

Знайдемо частинні похідні

Перевіряємо достатні умови екстремуму для точки М.

A>0, тому точка М-точка мінімуму (min).таким чином функція S=S(k,b) при k,b знайдених за формулами 6.7 приймає мінімальне значення.

Для побудови лінійної залежності y = kx+b потрібно:

1) за даними таблиці скласти систему рівнянь 6.6;

2) розв’язати її за формулами Крамера і записати лінійну залежність

Приклад 1.

x	1	3		4	2
y	4	8		2	5

у = kx+b

Складемо розрахункову таблицю:

x_i	y_i	x_i²	x_i_× y_i
1	4	1	4
3	8	9	24
5	3	25	15
4	2	16	8
2	5	4	10
15	22	55	61

; ;

4.2 Побудова квадратичної залежності між двома змінними величинами

Для знаходження k,b,c. Отримаємо систему рівнянь.

(6.8)

Приклад 2.

За прикладом 1 скласти квадратичну залежність

x_i	y_i	x_i²	x_i_× y_i	x_i³	x_i⁴	x_i²×y_i
1	4	1	4	1	1	4
3	8	9	24	27	81	72
5	3	25	15	125	625	75
4	2	16	8	64	256	32
2	5	4	10	8	16	20
15	22	55	61	225	979	203

979k+225b+55c=203

55b+15c=61

55k+15b+5c=22

; ; ;

;

Умовний екстремум функцій багатьох змінних. Умовним екстремумом функції u = f(x_1,х₂, ….х_n) називається екстремумом цієї функції, який досягається за умови, що змінні x_1,х₂, ….х_n зв»язані з рівняннями зв»язку

Тобто задача ставиться так: знайти екстремум функції

u = f(x_1,х₂, ….х_n) (6.9)

за умови, що

(6.10)

Для розв»язання такої задачі використовується метод множників Лагранжа, згідно з яким задача знаходження умовного екстремуму зводиться до дослідження на звичайний екстремум функції Лагранжа

(6.11)

Де називаються множниками Лагранжа.

Необхідні умови умовного екстремуму виражаються системою n + m рівнянь

(6.12)

Розв»язки цієї системи - стаціонарні точки функції Лагранжа.

Достатні умови умовного екстремуму можна встановити за знаком диференціала другого порядку функції Лагранжа з урахуванням рівнянь зв»язку.

Зокрема, для випадку відшукання екстремуму функції двох змінних

z = f(x, y) (6.13)

за умови, що

(6.14)

функція Лагранжа має вигляд

(6.15)

а відповідна система рівнянь для знаходження стаціонарної точки така

З цієї системи знаходяться невідомі де - координати точки, в якій можливий умовний екстремум.

Достатні умови умовного екстремуму такі:

-точка умовного мінімуму;

-точка умовного максимуму

при дослідженні знаку слід мати на увазі, що диференціали змінних dx, dy в залежні і ця залежність диктується рівняннями зв»язку.

Крім того, оскільки не є звичайною змінною, то при визначенні знака величина не враховується, тобто вважається

Знаходження найбільшого та найменшого значень функції в замкненій області. Якщо функція u = f(x) диференційована в замкненій області, то вона досягає свого найбільшого (найменшого) значення або в стаціонарній точці, або в гармонічній точці області.

Тому, для того щоб знайти найбільше та найменше значення функції в замкненій області, треба:

1) знайти стаціонарні точки, що розташовані в заданій області, і обчислити значення функції в цих точках;

2) знайти найбільше та найменше значення функції на лініях, що утворюють межу області;

3) з усіх знайдених значень вибрати найбільше та найменше.

Дослідити на екстремум функцію