Практическая работа №3

Тема занятия: Монотонность функции на интервале, экстремальные точки, выпуклость графика на интервале.

Цель выполнения задания: изучить метод исследования функции на монотонность, экстремум, выпуклость и точки перегиба.

Обучающийся должен знать:

· понятие экстремума функции

· монотонности функции на интервале

· выпуклости графика

· точек перегиба.

Обучающийся должен уметь: исследовать функцию на монотонность, экстремум, выпуклость графика и почки перегиба.

Теоретическая часть:

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y=f(x) называется убывающей на интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если производная функции на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает. Если производная функции на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает.

Точка x =a называется точкой максимума, если для любого x из окрестности этой точки выполняется условие f (x) . Точка x =b называется точкой минимума, если для любого x из окрестности этой точки выполняется условие f (x) f(b). Если производная, проходя через критическую точку меняет свой знак с «+» на «-», то эта точка является точкой max. Если производная, проходя через критическую точку меняет свой знак с «-» на «+», то эта точка является точкой min.

На промежутке a график функции y= f (x) называется выпуклым вверх, если он расположен ниже касательной, проведённой в любой точке этого промежутка. На промежутке b <c график функции y= f (x) называется выпуклым вниз, если он расположен выше касательной, проведённой в любой точке этого промежутка. Точка, проходя через которую график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

График дифференцируемой функции y =f (x) является выпуклым на промежутке a , если вторая производная функции на промежутке отрицательна: f´´ 0 при a .

График дифференцируемой функции y =f (x) является вогнутым на промежутке b<x<c, если вторая производная функции на промежутке положительна: f´´ 0 при b .