Практическая работа №4

1 2 3 4 5 6 7

Тема: Исследование функции с помощью производной и построение графика функции.

Цель выполнения задания: сформировать навык исследования функции, умение строить графики функций.

Обучающийся должен знать:

· Определение монотонности функции;

· Определение экстремальных точек;

· Определение точек перегиба и интервалов выпуклости графика функции;

· Общую схему исследования функции.

Обучающийся должен уметь:

· Применять производную для определения интервалов монотонности и экстремальных точек;

· Применять вторую производную для нахождения точек перегиба функции и интервалов выпуклости;

· Исследовать функцию по общей схеме и строить график функции.

Теоретическая часть.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция y=f(x) называется убывающей на интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если производная функции на интервале положительна, то функция на этом интервале возрастает. Если производная функции на интервале отрицательна, то функция на этом интервале убывает.

Точка x =a называется точкой максимума, если для любого x из окрестности этой точки выполняется условие f (x) . Точка x =b называется точкой минимума, если для любого x из окрестности этой точки выполняется условие f (x) f(b). Если производная, проходя через критическую точку меняет свой знак с «+» на «-», то эта точка является точкой max. Если производная, проходя через критическую точку меняет свой знак с «-» на «+», то эта точка является точкой min.

На промежутке a график функции y= f (x) называется выпуклым вверх, если он расположен ниже касательной, проведённой в любой точке этого промежутка. На промежутке b <c график функции y= f (x) называется выпуклым вниз, если он расположен выше касательной, проведённой в любой точке этого промежутка. Точка, проходя через которую график функции меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

График дифференцируемой функции y =f (x) является выпуклым на промежутке a , если вторая производная функции на промежутке отрицательна: f´´ 0 при a .

График дифференцируемой функции y =f (x) является вогнутым на промежутке b<x<c, если вторая производная функции на промежутке положительна: f´´ 0 при b .