2020-08-05
965
Тема: Приложение дифференциала к приближённым вычислениям
Цель выполнения задания: сформировать умение и навыки приближённых вычислений, развивать самостоятельность, логическое мышление, умение работать в группе.
Обучающийся должен знать: определение дифференциала функции; формулу, выражающую функцию через дифференциал.
Обучающийся должен уметь: применять дифференциал к вычислению приближённого значения функции.
Теоретическая часть.
Пусть дана функция y = f(x), дифференцируемая в точке x. Это значит, что функция в точке x имеет производную, т.е.существует 
= y′. Следовательно, для функции f(x) выполняется равенство 
= y′ +α, где α→0 при Δx→0. Получим Δy = y′Δx + αΔx. Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается dy = y′Δx.
Дифференциал функции широко используется в приближённых вычислениях. Так как Δy= dy + αΔx, где Δy – приращение функции, можно сделать вывод о том, что Δy≈ dy. Отсюда получаем f(x+Δx)≈ f(x) + dy. Это одна из основных формул для приближённых подсчётов.
Рассмотрим функцию f(x) = 
Тогда приближённое значение степени будет равно 
Если функция равна f(x) = 
, то приближённое значение будет равно
+ 
Пример 1
Вычислите приближённо изменение функции y = x³ -7x² +80 при изменении аргумента x от 5 до 5,01.
Находим Δy≈ y′Δx, y′ = (x³- 7x² +80)′ = 3x² -14x, Δx = 5,01 – 5= 0,01. Получим Δy= (3*5²- 14*5) 0,01 = 0,05.
Пример 2
Вычислите приближённо 3,0024.
Воспользуемся формулой f(x) = f(x0)+f′(x0)Δx. Здесь x0 = 3, Δx = 0,002, тогда
f(x) ≈ 34 + 4*3³0,002= 81+ 0,216= 81,216
Практическая часть.
1.Вычислить приближённое значение следующих функций:
y=x³ при x = 10,03;
y= x4 -2x +4 при x = 3,004;
при x =2,02
y=x³ - x² + x при x=3,01
y = 5x³ - x² +5x +4 при x =2,002
2.Найти приближённое значение:
9,06²; 2,0054; 2,00210; 2,9955; 1,9986; 1,013 ³; 
;(1,02) 5
; 
; 
; 
; 
; 
; 
