Функции двух переменных

Правило, которое каждой паре чисел из некоторой плоскости D ставит соответствие однозначно определенное число z называется функцией двух переменных и обозначается , где D – область определения функции .

Множество всех точек пространства с координатами образует поверхность, которая называется графиком функции двух переменных.

Линией уровня графика функции называется кривая в плоскости xOy, которая задается уравнением относительно графика функции двух переменных. Пример графика функции двух переменных представлен на рисунке 55.

Рисунок 55. График функции двух переменных.

Частные производные функции двух переменных

Для функций двух переменных можно внести понятия предела и непрерывности. Пусть – непрерывная функция, тогда – частное приращение функции по x. Аналогично число – частное приращение по y. Число – полное приращение функции.

Рассмотрим пределы отношения частного приращения функции по x и y к соответствующим аргументам, тогда получим частные производные функции по x и y соответственно

Обе частные производные являются по сути обычной производной функции одной переменной, которая появляется при фиксации второй переменной. Исходя из этого все правила и свойства сохраняются.

Геометрически частная производная равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой, получающейся при сечении поверхности графика вертикальной плоскостью . Аналогично для частной производной , в данном случае сечение поверхности графика – вертикальная плоскость . Пример проведения касательных к графику функции двух переменных приведен на рисунке 56.