Частные производные высших порядков

       Частные производные функции двух переменных по x и y также являются функциями двух переменных, поэтому для них можно брать частные производные

Если у функции двух переменных существуют непрерывные частные и смешанные производные, тогда смешанные частные производные равны.

       Аналогично можно строить частные производные более высоких порядков. Для них также справедливо утверждение о независимости частной производной от порядка, в котором идет дифференцирование, если все промежуточные частные производные и результат непрерывны.

Локальные экстремумы для функции двух переменных

       Точка  называется локальным максимумом функции двух переменных , если справедливо следующие соотношение в некоторой окрестности заданной точки

Данное соотношение определяет строгий максимум. При нестрогом знаке получается нестрогий максимум. Аналогично вводится локальный минимум.

       Локальные максимумы и минимумы называются локальными экстремумами, если точка  – локальный экстремум для функции , из которого следует, что  и  равны нулю или не существуют. Обратное суждение неверно.

       Пусть у функции  существуют непрерывные частные производные до второго порядка включительно и , тогда существование экстремума зависит от выражения следующего вида

Если , тогда экстремум есть, причем при  – максимум и  – минимум. Если , тогда экстремума в точке нет. Если , тогда нужны дополнительные исследования.