2020-08-05
124
Пусть задана функция 
в некоторой заданной области D, которая аналогична и непрерывна на некотором контуре 
. Рассмотрим вспомогательную функцию, для которой справедлива интегральная терема Коши
Доопределение 
в точке 
как производную заданной функции в этой точке требует непрерывности функции в этой точке, из которого следует соотношение – интеграл Коши
Из данного соотношения следует интегральная формула Коши
Следствия интегральной формулы Коши для производных аналитических функций примут следующие виды
Из полученного соотношения следует соотношение интегральной формулы коши для производных высших порядков аналитических функций
Для справедливости полученных соотношений, необходимо, чтобы функции удовлетворяли условиям коши – функции должны быть аналитичны в рассматриваемой области и на заданном контуре.
Теория рядов
Числовые ряды
Числовым рядом называется бесконечная сумма вида 
, где 
– общий член ряда. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой
|
|
|
Если существует конечный предел частичной суммы, тогда ряд называется сходящимся, а число S – сумма ряда
Если предел не существует или равен бесконечности, тогда ряд называется расходящимся.
Ряд вида 
называется геометрической прогрессией, где b – первый член ряда, q – знаменатель прогрессии
Исходя из известного со школы соотношения для суммы геометрической прогрессии, следует следующие соотношение
При особых случаях, когда 
, получим расходящиеся ряды следующих видов с соответствующими суммами
Геометрическая прогрессия сходится при 
и расходится во всех остальных случаях.
Операции с рядами
Если 
и 
– сходящиеся ряды с суммами 
и 
соответственно, тогда ряд 
также сходится и его сумма равна 
.
Если ряд сходится и его сумма равна , тогда ряд 
также сходится и его сумма равна 
.
При удалении или добавлении конечного числа слагаемых поведения ряда не меняется.
Необходимый признак сходимости – предел вида 
не является достаточным. Например, гармонический рад вида 
имеет необходимый предел, но является расходящимся рядом.
