Знакоположительные ряды

Знакоположительным рядом называется ряд вида

Теорема 1 – Признак сравнения: Пусть для знакоположительных рядов и выполняется , тогда справедливо следующее: из сходимости большего следует сходимость меньшего или из расходимости меньшего следует расходимость большего.

Теорема 2 - Предельный признак: Если для знакоположительных рядов и существует конечный предел вида , тогда ряды ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся.

Теорема 3 – Признак Даламбера: Пусть для знакоположительного ряда выполняется , тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак не работает.

Теорема 4 – Признак Коши: Пусть для знакоположительного ряда существует предел вида , тогда если – ряд сходится, – ряд расходится, – признак не работает.

Теорема 5 – Интегральный признак Коши: Пусть для знакоположительного ряда найдена функция , определенная на отрезке со свойствами: , монотонно убывает, , . Тогда ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Ряд , у которого присутствуют и положительные и отрицательные слагаемые называется знакопеременным.

Ряды вида , где называется знакочередующимся.

Теорема – Признак Лейбница: Если для модулей членов знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: и , тогда ряд сходится и его сумма по модулю оценивается как .

Если у знакопеременного ряда сходится ряд из модулей, тогда сам исходный ряд также сходится (обратное высказывание неверно). Если у сходящегося знакопеременного ряда ряд из модулей сходится, тогда исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд из модулей расходится – условно сходящимся.

Если ряд сходится абсолютно, тогда перестановка бесконечного числа слагаемых не влияет на сумму. Перестановка слагаемых у условно сходящегося ряда может привести к любому значению суммы или привести к расходимости ряда.

Функциональные ряды

Бесконечная сумма вида называется функциональным рядом. Если у функционального ряда зафиксировать точку , тогда ряд станет числовым.

Множество всех значений x, при которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости ряда. Аналогично числовым рядам можно ввести частичные суммы следующего вида

Если x принадлежит области сходимости, тогда сумма ряда определена на области сходимости ряда

Степенные ряды

Функциональный ряд называется степенным, если элементы ряда определены степенной функцией

Частный случай при , тогда степенной ряд примет вид

У степенного ряда вида всегда существует число R со следующим свойством: ряд сходится на интервале и расходится на лучах и . Число R называется радиусом сходимости, а интервал – радиусом сходимости. Радиус сходимости можно найти из следующих соотношений