2020-08-05
172
Степенной ряд, разложенный по степеням 
имеет вид
При 
, получим 
- степенной ряд, разложенный по степеням z.
Теорема Абеля: Если степенной ряд комплексной переменной сходится при 
, тогда он сходится при любых z, удовлетворяющих условию 
. Если заданный ряд расходится при 
, тогда он расходится при 
. Радиус сходимости 
. Во всех точках внутри заданной окружности ряд сходится. Вне окружности – расходится. На границе окружности – нужны дополнительные исследования.
Степенной ряд, коэффициенты которого вычисляются функцией и ее производной, определяет ряд Тейлора в комплексной области
Теорема Тейлора: Пусть 
– аналитична в некоторой области D и непрерывная на контуре G, тогда в заданной области D функцию можно разложить в ряд Тейлора по интегральной формуле Коши
Частный случай ряда Тейлора – ряд Маклорена, который возникает при a в начале координат.
Ряд Лорана
Пусть задана некоторая точка a, ограниченная двумя окружностями таким образом, чтобы было справедливо соотношение 
. Функция комплексной переменной – аналитична и непрерывна в заданной кольцевой области.
На основании интегральной теоремы Коши для многосвязной области получим соотношение
Исходя из этого соотношения получим ряд, состоящий из двух частей: правильная часть ряда Лорана – Тейлоровая и главная часть ряда Лорана – Лорановая
