Степенные ряды комплексной переменной

       Степенной ряд, разложенный по степеням  имеет вид

При , получим  - степенной ряд, разложенный по степеням z.

Теорема Абеля: Если степенной ряд комплексной переменной сходится при , тогда он сходится при любых z, удовлетворяющих условию . Если заданный ряд расходится при , тогда он расходится при . Радиус сходимости . Во всех точках внутри заданной окружности ряд сходится. Вне окружности – расходится. На границе окружности – нужны дополнительные исследования.

       Степенной ряд, коэффициенты которого вычисляются функцией и ее производной, определяет ряд Тейлора в комплексной области

Теорема Тейлора: Пусть  – аналитична в некоторой области D и непрерывная на контуре G, тогда в заданной области D функцию  можно разложить в ряд Тейлора по интегральной формуле Коши

Частный случай ряда Тейлора – ряд Маклорена, который возникает при a в начале координат.

Ряд Лорана

       Пусть задана некоторая точка a, ограниченная двумя окружностями таким образом, чтобы было справедливо соотношение . Функция комплексной переменной  – аналитична и непрерывна в заданной кольцевой области.

       На основании интегральной теоремы Коши для многосвязной области получим соотношение

Исходя из этого соотношения получим ряд, состоящий из двух частей: правильная часть ряда Лорана – Тейлоровая и главная часть ряда Лорана – Лорановая