Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция дифференцируема в окрестности точки бесконечное число раз, тогда степенной ряд следующего вида

называется рядом Тейлора для функции .

Достаточное условие представимости функции рядом Тейлора следующее: если в окрестности функция имеет производные, ограниченные по модулю одной общей константой , иными словами ряд Тейлора в этой окрестности сходится к .

Ряд Тейлора при , иными словами

называется рядом Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

Основным практическим приложением рядом Маклорена является вычисление определенных интегралов с некоторой точностью, для чего подынтегральная функция раскладывается в ряд Маклорена и полученный ряд интегрируется почленно.

Ряды в комплексной области

Вся теория рядов в комплексной области сводится к поэлементному рассмотрению , из чего следует, что рассматриваются два ряда: действительный и мнимый, при этом, если расходится хотя бы один из них, тогда весь ряд расходится

Функциональный ряд в комплексной области вида

Сходится на области D, если в каждой точке заданной области ряд сходится. Если справедливо соотношение , тогда ряд сходится в области D равномерно – признак равномерной сходимости Вейерштрассе.

Если члены заданного ряда в комплексной области непрерывны в области D и заданный ряд равномерно сходится, тогда сумма ряда также непрерывна в области D. При тех же условиях справедливо также следующее соотношение

Если члены заданного ряда в комплексной области аналитичны в некоторой области D и ряд сходится в области D равномерно, тогда дифференциал суммы ряда примет вид