Нули и изолированные особые точки аналитической функции комплексной переменной

Пусть задана функция – аналитическая в некоторой области D, тогда ноли функции – точки , в которой . – ноль функции порядка n, при .

Устранимые особые точки (УОТ) – точки, в окрестности которых ряд Лорана не содержит главной части. Второй признак УОТ имеет вид

Существенно-особые точки (СОТ) – точки, в окрестности которых ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых в главной части.

Полюс – особая точка, в окрестности которой ряд Лорана содержит конечное число слагаемых в главной части. Если – простой полюс. В полюсах и СОТ предел вида бесконечен или не существует.

Для того, чтобы изолированная особая точка a аналитической функции являлась полюсом m-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы для функции вида она являлась нулем m-го порядка.

Вычеты аналитической функции комплексной переменной

Вычетом аналитической функции называется первый коэффициент главной части ряда Лорана функции в особой точке a

Вычисление вычета в полюсе m-го порядка примет вид

Исходя из этого вычет в полюсе второго порядка примет вид

Вычет в простом полюсе примет вид

Если – простой полюс функции , где – аналитичны, тогда при получим

Теорема: Если функция – аналитична в некоторой области D и непрерывна на контуре G за исключением конечного числа особых точек, тогда, на основании теоремы Коши для многосвязной области, справедливо следующее соотношение