2020-08-05
187
Пусть задана функция 
– аналитическая в некоторой области D, тогда ноли функции 
– точки 
, в которой 
. 
– ноль функции порядка n, при 
.
Устранимые особые точки (УОТ) – точки, в окрестности которых ряд Лорана не содержит главной части. Второй признак УОТ имеет вид
Существенно-особые точки (СОТ) – точки, в окрестности которых ряд Лорана содержит бесконечное число слагаемых в главной части.
Полюс – особая точка, в окрестности которой ряд Лорана содержит конечное число слагаемых в главной части. Если 
– простой полюс. В полюсах и СОТ предел вида 
бесконечен или не существует.
Для того, чтобы изолированная особая точка a аналитической функции являлась полюсом m-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы для функции вида 
она являлась нулем m-го порядка.
Вычеты аналитической функции комплексной переменной
Вычетом аналитической функции называется первый коэффициент главной части ряда Лорана функции в особой точке a
Вычисление вычета в полюсе m-го порядка примет вид
Исходя из этого вычет в полюсе второго порядка примет вид
Вычет в простом полюсе примет вид
Если 
– простой полюс функции 
, где 
– аналитичны, тогда при 
получим
Теорема: Если функция – аналитична в некоторой области D и непрерывна на контуре G за исключением конечного числа особых точек, тогда, на основании теоремы Коши для многосвязной области, справедливо следующее соотношение
Вычисление интегралов в комплексной области
Пусть 
, тогда при 
и
получим
Из полученного соотношения получим вычисление интеграла функции 
Если 
– рациональная функция непрерывная на Ox и 
, тогда справедливо следующее соотношение для вычисления несобственного интеграла
Если 
или 
, где 
, тогда справедливо следующее соотношение
– аналитична в 
, тогда вычисление несобственного интеграла примет вид
