2020-08-05
104
Дифференциальное решение первого порядка называется уравнение вида 
, где 
– независимая переменная, 
– неизвестная функция, 
– производная неизвестной функции .
Если дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде
, тогда его называют разрешимым относительно производной. Функция
называется решением дифференциального уравнения, если при подстановке она обращает его в верное тождество.
У дифференциального уравнения бесконечно много решений. Чтобы выделить некоторое частное решение, необходимо задать пару чисел 
и требуется, чтобы график решения – интегральная кривая проходила через заданную точку. Пара чисел , где 
называется начальным условием для дифференциального уравнения. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка с начальными условиями называется задачей Коши.
Теорема Коши: Если у дифференциального уравнения правая часть является непрерывной как функция двух переменных вместе частной производной 
в некоторой области D, тогда начальное условие 
определяет единственное решение с заданными начальными условиями.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего теореме Коши, называется семейство функций 
, такое что:
1. Для всех констант c функция является решением;
2. Для всех начальных условий можно подобрать такое значение c, что
будет удовлетворять заданным начальным условиям.
Решение дифференциального уравнения не всегда удается записать в явном виде.
Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка:
1. Дифференциальное уравнение вида 
, общее решение которого имеет вид
2. Уравнения с разделяющимися переменными – дифференциальные уравнения, в которых правая часть 
представлена как произведение 
, иными словами, уравнение такого вида имеет вид
Алгоритм решения уравнения такого вида
Полученное соотношение называется общим решением дифференциального уравнения. Если существует значение 
, такое что 
, тогда заданное значение также является решением дифференциального уравнения, но оно не входит в общее решение. Такое решение называется потерянным.
3. Если функция обладает свойством 
, тогда эта функция и дифференциальное уравнение называются однородными.
Однородные дифференциальные уравнения решаются с помощью замены переменной 
, где 
– новая неизвестная функция сведется к уравнению с разделяющимися переменными. В результате замены получим следующее соотношение
