Дифференциальные уравнения первого порядка

       Дифференциальное решение первого порядка называется уравнение вида , где  – независимая переменная,  – неизвестная функция,  – производная неизвестной функции .

       Если дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде

, тогда его называют разрешимым относительно производной. Функция

 называется решением дифференциального уравнения, если при подстановке она обращает его в верное тождество.

       У дифференциального уравнения бесконечно много решений. Чтобы выделить некоторое частное решение, необходимо задать пару чисел и требуется, чтобы график решения – интегральная кривая проходила через заданную точку. Пара чисел , где  называется начальным условием для дифференциального уравнения. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка с начальными условиями называется задачей Коши.

Теорема Коши: Если у дифференциального уравнения  правая часть является непрерывной как функция двух переменных вместе частной производной  в некоторой области D, тогда начальное условие  определяет единственное решение с заданными начальными условиями.

       Общим решением дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего теореме Коши, называется семейство функций , такое что:

1. Для всех констант c функция  является решением;

2. Для всех начальных условий  можно подобрать такое значение c, что

 будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Решение дифференциального уравнения не всегда удается записать в явном виде.

Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка:

1. Дифференциальное уравнение вида , общее решение которого имеет вид

2. Уравнения с разделяющимися переменными – дифференциальные уравнения, в которых правая часть  представлена как произведение , иными словами, уравнение такого вида имеет вид

Алгоритм решения уравнения такого вида

Полученное соотношение называется общим решением дифференциального уравнения. Если существует значение , такое что , тогда заданное значение также является решением дифференциального уравнения, но оно не входит в общее решение. Такое решение называется потерянным.

3. Если функция  обладает свойством , тогда эта функция и дифференциальное уравнение называются однородными.

Однородные дифференциальные уравнения решаются с помощью замены переменной , где  – новая неизвестная функция сведется к уравнению с разделяющимися переменными. В результате замены получим следующее соотношение