Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется дифференциальное уравнение вида

Если в данном уравнении , тогда уравнение – линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка, иначе – линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка. Если , тогда данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Теорема об общем решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений справедлива в случае высших порядков.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: Если – общее решение линейного однородного дифференциального уравнения следующего вида

Тогда его можно представить виде линейной комбинации

В данном соотношении – линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения.

Набор функций называется линейно зависимым, если хотя бы одну из них можно представить, как линейную комбинацию остальных.

Алгоритм нахождения линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

1. Формально заменяются производные и сама функция на аналогичные степени комплексной величины

2. Результатом предыдущего шага является комплексный многочлен с действительными коэффициентами. У него будет n корней с учетом их кратности и все комплексные корни будут входить сопряженными парами;

3. Каждому корню поставим в соответствие функцию по следующим правилам