2020-08-05
183
Равномерное распределение – непрерывная случайная величина X с функцией плотности распределения равной
И функцией распределения соответственно равной
Графики функции плотности распределения и функции распределения равномерного распределения представлены на рисунке 58.
Рисунок 58. Графики функции плотности распределения и функции распределения равномерного распределения.
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины соответственно равно
Равномерно распределённым являются те случайные величины, у которых значения заполняют отрезок 
и равновозможные.
Нормальное распределение – распределение случайной величины с плотностью распределения равной
В данном соотношении 
, 
. Функция распределения нормального распределения имеет вид
Данный интеграл не берущийся, поэтому функция распределения вычисляется приближенно. Функция распределения для стандартного случая нормального распределения 
называется стандартной функцией распределения – функцией Лапласа
Применяя функцию Лапласа для нахождения вероятности нормально распределенной случайной величины получим соотношение
Теорема – Правило трех сигм: Для нормально распределённой случайной величины выход за пределы 
практически невозможно.
Графики плотности распределения и распределения нормально распределенной случайной величины представлено на рисунке 59.
Рисунок 59. Графики функции плотности распределения и функции распределения нормального распределения.
Показательное распределение – распределение, которое задается функцией плотности распределения вида
Функция распределения примет вид
Графики функции плотности распределения и функции распределения представлены на рисунке 60.
Рисунок 60. Графики функции плотности распределения и функции распределения показательного распределения.
Исходя из функции распределения получим соотношение для нахождения вероятности случайной величины
Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины примет вид
Закон больших чисел
Закон больших чисел – группа теорем, отражающих общий принцип, связанный с устойчивостью массовых случайных явлений. Конкретные особенности каждого случайного явления в массе взаимно поглощаются и почти не складываются на среднем результате.
Пусть даны 
– независимые случайные величины с одинаковым законом распределения и, в частности, с одинаковым математическим ожиданием. Введем новую случайную величину
Исходя из этого, 
и 
.
При большом числе опытов, рассматриваемая случайная величина не ведет себя как случайная величина, поскольку рассеивания практически нет.
Теорема Чебышева: Если 
независимые и одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием m, тогда справедливо следующее соотношение
Центральная предельная теорема – группа теорем, связанных с законами распределения случайных величин, которые получаются при суммировании большого числа случайных величин.
Теорема Ляпунова: При суммировании большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин закон распределения становится близким к нормальному, если каждое слагаемое слаб влияет на сумму.
При суммировании большого числа случайных величин математическое ожидание и дисперсия суммы могут неограниченно возрастать, поэтому рассматривают центрированную и нормированную сумму
Теорема – предельная теорема Муавра-Лапласа: Пусть в схеме Бернулли каждый элемент принимает 0 – неудача или 1 – успех, тогда 
– число успехов в серии из n опытов. Исходя из этого, справедливо соотношение
Вероятность суммы случайных величин примет вид
