Числовые характеристики случайных величин

       Законы распределения полностью описывают случайные величины и с их помощью можно рассмотреть характеристики положения случайной величины и характеристики рассеивания случайной величины.

       Математическое ожидание случайной величины – характеристика среднего ожидаемого значения случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины с рядом распределения при :  – число, определяемое соотношением

При введении числа опытов N по наблюдению за дискретной случайной величины, тогда среднее арифметическое для случайной величины определяется соотношением

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения  математическое ожидание определяется соотношением

       Мода случайной величины – наиболее вероятное значение этой случайной величины. Для дискретной случайной величины мода равна тому значению , у которого наибольшая частота повторений в ряде распределения. Для непрерывной случайной величины мода – точка максимума функции плотности распределения.

       Если у многоугольника или у графика плотности распределения несколько выраженных максимумов, тогда распределение называется полимодальным. Для одномодального распределения с симметричным графиком мода и математическое ожидание совпадают.

       Медиана для непрерывной случайной величины – число , для которого выполняется следующее соотношение

       Дисперсия случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от математического ожидания

Для дискретной случайной величины дисперсия определяется соотношением

Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется соотношением

Теорема: .

       Среднеквадратическое отклонение случайной величины – число, определяемое соотношением

       Если в одном опыте наблюдаются сразу несколько случайных величин, тогда можно ставить вопрос об их зависимости или независимости. Две случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой не зависит от того, какое значение приняла вторая случайная величина.

       Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины:

1. ;

2. ;

3.  для независимых случайных величин;

4. ;

5. ;

6.  для независимых случайных величин,  для независимых случайных величин и их математические ожидания равны нулю.

Для биноминального распределения при  математическое ожидание и дисперсия примут вид

       Случайная величина X, принимающая значения 0, 1, 2, …, m, … с вероятностями равными , где , называется распределением Пуассона. Если случайная распределена по закону Пуассона, тогда  и . Распределение Пуассона является предельным для биномиального при бесконечном количестве опытов и .