Интервальные оценки параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Пусть для параметра признака X найдена точечная оценка. Необходимо оценить ошибку . Поскольку ошибка является случайной величиной, тогда оценка может быть лишь вероятностной. Обозначим доверительную вероятность следующим соотношением, в котором – предельная ошибка выборки

связанны между собой и зависят друг от друга

Полученное соотношение определяет доверительный интервал.

Если признак причем – известна, а m – неизвестна, тогда доверительный интервал для математического ожидания будет иметь вид

Данное соотношение справедливо в общем случае для нормально распределенных признаков с известным среднеквадратическим отклонением, но при больших объемах выборки данную формулу можно использовать в случаях:

1. Если , тогда независимо от типа распределения признака X оценка среднего выборки находится на основе центральной предельной теоремы;

2. Если с неизвестным среднеквадратичным отклонением, тогда можно использовать соотношение для доверительного интервала, заменив среднеквадратическое отклонение на исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение.

Пусть имеется случайная величина , тогда сумма неизвестных случайных величин – случайная величина, распределенная по «хи-квадрат» c k степенями свободы. При стремлении к бесконечности данное распределение медленно сводится к нормальному распределению.

Пусть , тогда указанное соотношение случайной величины называется T-распределением или распределением Стьюдента

При стремлении степеней свободы распределения «хи-квадрат» к бесконечности данное распределение сводится к нормальному распределению.

Пусть , где математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение неизвестно, тогда значение математического ожидание с помощью доверительного интервала на основе Т-распределения