Тема: «Элементы планиметрии: треугольники, многоугольники и их площади»

Цель: сформировать умение применять знания из планиметрии при решении задач и упражнений

Теоретические сведения к практическому занятию:

Многоугольники и их площади

Формулы площади треугольника

1-ая формула

S - площадь треугольника

a, b - длины 2-х сторон треугольника

С - угол между сторонами a и b

2-ая формула

S - площадь треугольника

a - длина стороны треугольника

h - длина высоты, опущенной на сторону a

3-ья формула

S - площадь треугольника

a, b, c - длины 3-х сторон треугольника

p - полупериметр треугольника

4-ая формула

S - площадь треугольника

r - радиус вписанной окружности

p - полупериметр треугольника

5-ая формула

S - площадь треугольника

a, b, c - длины 3-х сторон треугольника

R - радиус описанной окружности

Формулы площади квадрата:

1) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (a).

2) Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d).

 

 

24

S - площадь квадрата

a - длина стороны квадрата

d - длина диагонали квадрата

Формула площади прямоугольника:

1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).

S - площадь прямоугольника

a - длина 1-ой стороны прямоугольника

b - длина 2-ой стороны прямоугольника

Формула площади параллелограмма:

1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

S - площадь параллелограмма

a - длина основания

h - длина высоты

Формула площади трапеции:

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).

S - площадь трапеции

a - длина 1-ого основания

b - длина 2-ого основания

h - длина высоты трапеции

Формулы площади ромба:

1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).

2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S - площадь ромба

a - длина основания ромба

h - длина высоты ромба

d₁ - длина 1-ой диагонали

d₂ - длина 2-ой диагонали

Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату его стороны, умноженной на 4:

Формула площади круга:

1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

S - площадь круга

π - число пи (3.1415)

r - радиус круга

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

       Ее центр должен принадлежать всем биссектрисам внутренних углов этого многоугольника. Ее радиус можно вычислить по формуле , где S – площадь, а р – полупериметр многоугольника. Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, а радиус вычисляется по формулам ,

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

       Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Ее центр лежит на всех серединных перпендикулярах сторон (и диагоналей) этого многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, а радиус вычисляется по формулам:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

Теорема Птолемея: Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон

Самостоятельная работа:

1. Сформулировать теорему Пифагора, привести одно из возможных ее доказательств.

2. Подготовить сообщение о возникновении и развитии понятий круг и треугольник.

3. Высота трапеции равна 15, а площадь равна 225. Найти среднюю линию трапеции.

4. Дайте определения вписанной и описанной окружностей.

5. Сформулируйте теорему Птолемея.

 

Содержание практического занятия:

А. Ответить на вопросы:

1) Укажите формулы для нахождения площади треугольника. Приведите примеры.

2) Укажите формулы для нахождения площади квадрата. Приведите примеры.

3) Укажите формулы для нахождения площади прямоугольника. Приведите примеры.

4) Укажите формулы для нахождения площади параллелограмма. Приведите примеры.

5) Укажите формулы для нахождения площади трапеции. Приведите примеры.

6) Укажите формулы для нахождения площади ромба. Приведите примеры.

7) Укажите формулы для нахождения площади круга. Приведите примеры.

Б. Выполнить задания:

1) Найти площадь треугольника с высотой 10 см и основанием 6 см.

2) Найти площадь квадрата, длина стороны которого равна 5 см.

3) Площадь прямоугольника равна 90 см². Найти одну из сторон прямоугольника, если другая его сторона равна 10 см.

4) Радиус круга равен 7 см. Найти площадь круга.