Цель: сформировать умения составлять уравнения прямой и плоскости в пространстве.
Теоретические сведения к практическому занятию:
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
|
|
= ; (3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
. (4)
Уравнения (4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (5)
Решая систему (2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (6)
От уравнений (6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n 1, n 2], где n 1(A1, B1, C1) и n 2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
Содержание практического занятия:
А. Ответить на вопросы:
1) Дайте определение уравнения плоскости.
2) Дайте определение направляющего вектора прямой.
3) Укажите формулу канонического уравнения прямой.
4) Дайте определение нормального вектора прямой.
Б. Выполнить задания:
а) Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .
б) Даны точка и направляющий вектор . Составить параметрические уравнения прямой.
|
|
в) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .