Задача о работе силового поля

 

Пусть в некоторой области D на плоскости xy действует силовое поле, т. е. в каждой точке этой области действует сила, величина и направление которой зависит от координат этой точки .

Пусть под действием данной силы точка перемещается вдоль кривой L с началом в точке A и с концом в точке B. Требуется найти работу, затраченную силой на перемещение этой точки вдоль кривой L.

Разобьем кривую L на п частей точками A=M₀, M₁,…, M_n=B и рассмотрим i- ый участок разбиения (M_i-1, M_i).

Предположим, что на i -ом участке разбиения сила постоянна и принимает значение в точке M_i-1: .

Т. к. длина i -го участка разбиения достаточно мала, будем считать, что перемещение происходит вдоль вектора . Тогда работа на i -том участке – это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

.

.

Тогда работа по перемещению вдоль всей кривой L от A до В:

.

Данное равенство тем точнее, чем на большее число частей мы разбиваем кривую L, тогда работа:

.

Задач, приводящих к подобным пределам, достаточно много в физике, химии и других областях.

 

Определение криволинейного интеграла 2-го рода.

 

Пусть в области D плоскости xy задана кривая L и функции P(x,y) и Q(x,y), непрерывные в каждой точке кривой L. Разобьем кривую L произвольно на п частей и обозначим  - проекция i -го участка разбиения на ось x,  - проекция i -го участка на ось у. На каждом участке разбиения произвольно выберем точку  и составим интегральную сумму

.

Если существует конечный предел полученной интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек, тогда этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода или интегралом по координатам.

.