Свойства криволинейных интегралов 2-го рода

1) Криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования:

2) Если кривая L разбита на части L₁ и L₂, тогда

3) Криволинейный интеграл можно рассматривать как сумму интегралов

1-ый интеграл называется интегралом по координате х, а 2-ой ― по координате у.

4) Если кривая L замкнута, то .

В этом случае обязательно указывается направление интегрирования. Направление интегрирования называется положительным, если при обходе по контуру L область D всегда остается при этом слева, т. е. против часовой стрелки. Если обход совершается по ходу часовой стрелки, то направление интегрирования называется отрицательным.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

1) Пусть кривая L задана параметрически:

, . Причем, t₁ соответствует началу кривой, а t₂ – концу кривой.

Рассмотрим интегральную сумму .

- точка, произвольно выбранная на i -ом участке.

Рассмотрим 1-ое слагаемое.

Пусть значение параметра , тогда функция .

(применим теорему Лагранжа)=

, где .

Проведя аналогичные рассуждения для 2-го слагаемого, получим:

Таким образом, получаем равенство:

2) Пусть кривая L задана в декартовых координатах:

Выберем в качестве параметра х.

L: , .

Тогда имеет место равенство:

Замечание. Кривая L задана . Тогда в качестве параметра выберем y.

L: , .

Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по кривой , где О(0;0), А(2;1).

1) Пусть ОА – прямая соединяющая точки О и А.

, .

2) Пусть ОА ― парабола .

, .

Вывод: Криволинейный интеграл 2-го рода зависит не только от функций P и Q и направления интегрирования, но и от формы кривой L.

Пример. Вычислить интеграл по замкнутой кривой L: , где L – окружность , причем обход совершается по часовой стрелке.

Так как обход совершается по часовой стрелке, то обход отрицательный. Запишем уравнение окружности параметрически:

, . .

Замечание.

Если кривая L задана в пространстве, то все вычисления производятся аналогично.

Формула Грина.

Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом 2-го рода по замкнутому контуру L и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром.

Теорема. Если функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой области D плоскости ху, ограниченной замкнутым контуром L, тогда справедливо равенство: