2020-09-24
145
Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений методом простой итерации
Цель занятия: Научиться составлять и применять алгоритм решения систем линейных уравнений методом простой итерации. Формировать ОК-2, ОК-3, ОК-5, ОК-8, ОК-9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.1, ПК-1.2.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений»: метод простой итерации.
Литература:
- Лобачева М.Е. Численные методы. Учебное пособие, 2015г.
Перечень необходимых приборов, инструментов, материалов: ПЭВМ
Задание на занятие:
1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее приближенное решение методом простой итерации с точностью до 
Варианты заданий:
1. 
6.
 |  |
2. 7.
 | |||
 | |||
3. 8.
 |  |
4. 9.
 |  |
5. 10.
Порядок проведения занятия:
1. Получить допуск к работе.
2. Преобразовать систему к приведенному виду, проверить выполнение условия сходимости итерационной последовательности.
3. Составить программу вычисления приближений до достижения требуемой точности, взяв в качестве начального приближения вектор свободных членов приведенной системы.
4. Ответить на контрольные вопросы.
Содержание отчета:
- Наименование, цель работы, задание;
- Выполненное задание;
- Выводы по результатам выполненного задания;
- Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
1. Как формулируются условия сходимости итерационного процесса?
2. Как привести исходную систему линейных уравнений к системе с преобладающими диагональными коэффициентами? В чем заключается смысл такого преобразования?
3. Условия окончания итерационного процесса при нахождении решения с заданной точностью.
4. Какова структура погрешности решения системы линейных уравнений методом простой итерации?
5. На чем основывается оценка погрешности метода простой итерации для решения систем линейных уравнений?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Решить систему линейных уравнений методом простой итерации. Предполагается в дальнейшем, что матрица А квадратная и невырожденная.
Приведем исходную систему к равносильной ей системе вида:
Правая часть этой системы определяет отображение F: 
, 
,
преобразующее точку 
(x1, x2, …, xn) п -мерного векторного пространства в точку 
(у 1, у2, …,уn) того же пространства. Используя отображение F и выбрав начальную точку 
, можно построить итерационную последовательность точек п -мерного пространства (аналогично методу простой итерации для уравнения x = f (x)):
Если отображение F является сжимающим, то эта последовательность сходится и ее предел является решением системы.
Отображение F будет сжимающим, если выполняется хотя бы одно из условий:
а) в пространстве с метрикой ρ1: 
б)в пространстве с метрикой ρ2: 
в) в пространстве с метрикой ρ3: 
Процесс вычислений заканчиваем при выполнении условия
Алгоритм решения системы методом итераций реализуется следующей последовательностью действий.
1. Привести исходную систему к системе с преобладающими диагональными коэффициентами и разделить каждое уравнение на соответствующий диагональный коэффициент.
2. Проверить выполнение условий сходимости.
3. Выбрать метрику, для которой выполняется условие сходимости итерационного процесса.
4. Реализовать итерационный процесс (за начальное приближение обычно берется столбец свободных членов)
