Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями

Теорема 1 (о пределе суммы). Если последовательности и сходятся, то их сумма тоже сходится и предел суммы равен сумме пределов:

Доказательство:

Пусть , . Тогда по рассмотренной в предыдущем пункте теореме 3 имеем

где и при . Следовательно,

где при , так как сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Тогда по теореме 3 получаем:

Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности и сходятся, то их произведение сходится и предел произведения равен произведению пределов:

Доказательство: Пусть , . Тогда по рассмотренной в предыдущем пункте теореме 3 имеем

где и при . Следовательно,

где при (по теоремам 1 и 2 предыдущего пункта). Тогда по теореме 3 получаем:

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Доказательство: Пусть , - постоянная, следовательно, . Тогда по теореме о пределе произведения получаем:

Следствие 2. Если последовательности и сходятся, то их разность тоже сходится и предел разности равен разности пределов:

Доказательство: самостоятельно.

Теорема 3 (о пределе частного). Если последовательности и сходятся, причём и , то их частное тоже сходится и предел частного равен частному пределов: