Теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Теорема 3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют, и предел знаменателя отличен от нуля:

Примеры:

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

Определение 1. Функция стремится к бесконечности при , т.е. является бесконечно большой при , если для каждого положительного числа M, как бы велико оно не было, можно найти такое , что для всех значений x, отличных от a, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Обозначение: .

Если стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Пример:

Докажем, что .

Зафиксируем . Тогда будем иметь

, (1)

если , т.е. . Таким образом, при выполняется неравенство (1).

Определение 2. Функция называется бесконечно малой при или при , если или .

Таким образом,

Пример:

, т.е. - бесконечно малая при ;

, т.е. - бесконечно малая при .

Теорема 1. Если функция бесконечно малая при (или при ) и для из некоторой окрестности точки a, то функция бесконечно большая при (или при ). Верно обратное утверждение: если функция бесконечно большая при (или при ), то функция бесконечно малая при (при ).

Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию при (или при ) есть функция бесконечно малая.

Теорема 4. Для того чтобы число A было пределом функции при (или при ), необходимо и достаточно, чтобы могла быть представлена в виде , где – бесконечно малая функция при (или при ).