2020-09-24
104
Пример: Рассмотрим последовательность 
. Последовательность имеет вид: 
. Таким образом, 
с возрастанием номера n приближается к 8. Придадим этому утверждению точную математическую формулировку.
Зафиксируем число 
и поставим вопрос, каким должно быть n, чтобы модуль 
был меньше 0,001?
Для произвольного числа 
неравенство
(1)
равносильно неравенству 
. Так как 
, то неравенство (1) выполняется для всех 
, где 
– целая часть числа 
. В этом случае говорят, что предел последовательности 
равен 8 и пишут 
.
Определение 1. Пусть задана числовая последовательность 
. Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа найдётся такое натуральное число N, что для любого номера 
выполняется неравенство 
.
В этом случае пишут 
.
Иначе,
.
Определение 2. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть . Зафиксируем некоторое , тогда
.
Таким образом, 
. Вне интервала 
могут оказаться лишь N первых членов последовательности: 
. Среди чисел 
найдём наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно m и M. Тогда 
. Отсюда последовательность ограничена.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Используем метод от противного. Пусть последовательность имеет два различных предела a и b (для определённости 
).
Возьмём 
, отсюда 
. Тогда справедливо неравенство:
. (2)
Отсюда 
, в частности, 
.
С другой стороны,
.
Отсюда 
, в частности, 
.
Получаем 
для 
, где 
, что противоречит неравенству (2). Теорема доказана.
