Пример: Рассмотрим последовательность . Последовательность имеет вид: . Таким образом, с возрастанием номера n приближается к 8. Придадим этому утверждению точную математическую формулировку.
Зафиксируем число и поставим вопрос, каким должно быть n, чтобы модуль был меньше 0,001?
Для произвольного числа неравенство
(1)
равносильно неравенству . Так как , то неравенство (1) выполняется для всех , где – целая часть числа . В этом случае говорят, что предел последовательности равен 8 и пишут .
Определение 1. Пусть задана числовая последовательность . Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа найдётся такое натуральное число N, что для любого номера выполняется неравенство .
В этом случае пишут .
Иначе,
.
Определение 2. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказательство:
Пусть . Зафиксируем некоторое , тогда
.
Таким образом, . Вне интервала могут оказаться лишь N первых членов последовательности: . Среди чисел найдём наименьшее и наибольшее и обозначим их соответственно m и M. Тогда . Отсюда последовательность ограничена.
Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Используем метод от противного. Пусть последовательность имеет два различных предела a и b (для определённости ).
Возьмём , отсюда . Тогда справедливо неравенство:
. (2)
Отсюда , в частности, .
С другой стороны,
.
Отсюда , в частности, .
Получаем для , где , что противоречит неравенству (2). Теорема доказана.