Бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Пример:

Последовательность имеет вид:

Покажем, что .

Зафиксируем и найдём N, такое, что из условия следует , отсюда и . Таким образом, и последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство:

Пусть и – бесконечно малые последовательности. Тогда

Выбираем . Тогда для любого справедливы неравенства

, т.е.

. (3)

Так как взято произвольным, из неравенства (3) следует, что . Таким образом, последовательность является бесконечно малой.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство:

Пусть – ограниченная последовательность. Тогда

(4)

Пусть – бесконечно малая последовательность. Тогда

(5)

Из условий (4) и (5) следует, что

для любого при условии . Отсюда , т.е. последовательность бесконечно малая.

Пример:

- бесконечно малая последовательность;

- ограниченная последовательность, так как .

Отсюда - бесконечно малая последовательность и .

Теорема 3. Для того чтобы число a было пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы могло быть представлено в виде , где – бесконечно малая последовательность, т.е. при .