Бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого  найдётся такой номер , что для всех  верно неравенство . В этом случае пишут .

Теорема. Если последовательность , где , бесконечно большая, то последовательность  бесконечно малая. Верно обратное утверждение: если последовательность  бесконечно малая, то последовательность  бесконечно большая.

Доказательство:

1)  – бесконечно большая последовательность, тогда

.

Зафиксируем :

,

Следовательно, , т.е. последовательность  – бесконечно малая.

2)  - бесконечно малая последовательность, тогда

Положим :

.

Таким образом,  для любого . Отсюда  – бесконечно большая последовательность.

Пример:

Последовательность – бесконечно большая, тогда последовательность  – бесконечно малая и .