Обозначения. Логические символы

1 2 3 4 5 6 7

Конспект лекций по дисциплине «Математический анализ»

Тема №1

Действительные числа и их свойства

Лекция №1

1. Множества.

2. Множество действительных чисел.

3. Аксиомы множества действительных чисел.

4. Сравнение действительных чисел или упорядоченность.

5. Принцип Дедекинда.

6. Дополнительные свойства действительных чисел.

Множества

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента множества и принадлежности элемента множеству.

Теория множеств будет Вам подробно прочитана в дисциплине «Алгебра и теория чисел». В дисциплине математического анализа мы лишь фрагментарно коснемся общих понятий теории множеств. Это нам нужно для того, чтобы перейти к вопросу «Множество действительных чисел».

Определение №1. Множеством называется совокупность объектов, которые мы объединяем в одну группу (по произвольному признаку). Причем, с точки зрения теории множеств природа этих объектов несущественна.

Определение №2. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Примеры множеств: а) множество студентов в данной аудитории М 28;

б) множество натуральных чисел , т. е. все положительные целые числа ;

в) семейство звезд созвездия Большой Медведицы – тоже множество.

Обозначения. Логические символы

Как правило, множества обозначают большими, а их элементы малыми буквами латинского алфавита.

1) Если – элемент множества , то пишут ( принадлежит ).

Пример. Число 7 принадлежит множеству натуральных чисел .

2) Если не является элементом множества , то пишут или ( не принадлежит множеству ).

Пример. Так число не принадлежит множеству натуральных чисел, .

3) Если – некоторые элементы, то запись означает, что множество состоит из элементов .

Пример. Аналогичный смысл имеет запись .

4) Пусть и – два множества. Если и состоят из одних и тех же элементов, то говорят, что множества и совпадают. А пишут .

Пример. ; , то , так как порядок расположения элементов во множестве не имеет значения.

5) Если во множестве нет элементов, не принадлежащих множеству , то говорят, что множество содержится во множестве и пишут

( содержится в ) или ( содержит ).

Тогда множество называют подмножеством множества .

Пример. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, т.е. .

6) Если множество не содержится во множестве , то пишут .

Пример. Пусть множество – множество отрицательных чисел, то . Оно не содержится во множестве натуральных чисел.

7) В математике часто используется пустое множество. Оно не содержит ни одного элемента и обозначается .

Очевидно, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Пример. , пустое множество является подмножеством множества натуральных чисел.

8) Если множество состоит из элементов, обладающих определенным свойством, то пишут или . Здесь в фигурных скобках после двоеточия или вертикальной черты записывается указанное свойство элементов множества .

Пример. Пусть и – два действительных числа, причем . И пусть через отрезок обозначено множество всех действительных чисел , удовлетворяющих неравенству . Тогда определение этого множества, обозначенного отрезком , посредством указанных символов можно записать следующим образом: .

9) Пусть заданы два множества и :

;

а) Тогда с помощью символа обозначается множество, называемое объединением (или суммой) множеств и . Каждый элемент этого множества принадлежит хотя бы одному из множеств и , либо им обоим. Графически объединение множеств и представлено на рисунке:

б) С помощью символа обозначается множество, называемое пересечением множеств и . Множество состоит из элементов, принадлежащих одновременно множеству и множеству . Графически пересечение множеств представлено на рисунке:

в) С помощью символа \ обозначается множество, называемое разностью множеств и . Данное множество состоит из элементов, которые принадлежат множеству , но не принадлежат множеству . Графически разность множеств и показано на рисунке:

г) Если множество (содержится во множестве ), то разность множеств \ называется дополнением множества до множества . Графически это выглядит так:

, то

Разность \ показана штриховкой. В этом случае говорят, что разность множеств \ получается вычитанием из множества множества .

Пример. Пусть – множество студентов I курса факультета математики и информатики. – множество девушек I курса факультета математики и информатики. Тогда разность \ – есть множество юношей I курса факультета математики и информатики.