2020-10-09
371
Определение 1.4. Функция 
называется бесконечно большой (б.б.ф.) при 
, если для любого числа 
существует число 
, такое что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
,выполняется неравенство 
.
Записывают 
.
Всякая б.б. в окрестности точки функция является неограниченной в этой окрестности.
Определение 1.5. Функция называется бесконечно малой (б.м.ф.) при , если 
.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми и обозначают греческими буквами 
. Далее приведены основные теоремы о бесконечно малых функциях.
Теорема 1.5. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Теорема 1.6. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая функция.
Следствие 1.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 2 вытекает, что произведение двух б.м.ф. есть бесконечно малая функция.
Следствие 1.2. Произведение б.м.ф. на число есть бесконечно малая функция.
Теорема 1.7. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция.
|
|
|
Теорема 1.8. (о связи б.м. и б.б.) Если функция 
– бесконечно малая (
), то функция 
есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция 
– бесконечно большая, то функция 
есть бесконечно малая функция.
Теорема 1.9. (о представлении функции, имеющей конечный предел)
Если функция имеет предел, равный 
, то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , то есть если 
, то 
.
Теорема 1.10. (обратная)
Если функцию можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой функции , то число является пределом функции, то есть если , то .
