2020-10-09
423
Число 
называется пределом функции 
в точке 
(или при 
), если для любой последовательности допустимых значений аргумента 
(
), сходящейся к (то есть 
), последовательность соответствующих значений функции 
сходится к числу (то есть 
).
В этом случае пишут 
или 
, при .
Определение 1.2. (по Коши, на языке « 
» )
Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого сколь угодно малого числа 
найдется такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Записывают 
(см.рис. 6.1). Кратко определение предела функции записывается так: 
.
Рис. 1. 1
З а м е ч а н и е 1.1. Подразумевается, что определении предела функции любым способом: оставаясь слева от точки или справа от точки , или колеблясь около точки . В некоторых случаях возникает необходимость рассматривать односторонние пределы, то есть предел функции слева (при 
) или справа (при 
) от точки .
Число называется пределом функции слева в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что при всех 
, выполняется неравенство .
Записывают 
.
Число называется пределом функции справа в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что при всех 
, выполняется неравенство .
Записывают 
.
Теорема 1.4. ( существования предела функции в точке ) Если 
, то 
и 
, причем 
.
Верно и обратное: если , и 
то .
Пусть функция определена при 
Определение 1.3. (предела функции при 
)
Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство .
Записывают 
.
