Числовые последовательности. Предел последовательности

Введение

 

Целью изучения дисциплины «Математический анализ» является воспитание достаточно высокой математической культуры, привитие навыков современных видов математического мышления, обучение основным понятиям и методам математического анализа, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений практических задач, методам обработки и анализа результатов численных экспериментов для экономических задач.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

 

- самостоятельное изучение теоретического материала, построенного на основе четких формулировок и доказательство основных теорем; выработка способности проиллюстрировать самостоятельно изученный материал примерами и задачами;

 

- самостоятельное изучение истории появления наиболее важных понятий и результатов, а также пояснений об их приложениях к другим разделам математики и к другим наукам;

 

- закрепление самостоятельно изученного теоретического материала и выработка умения самостоятельно решать задачи для последующего применения математических методов в различных приложениях.

 

Студент по результатам освоения дисциплины «Математический анализ» должен обладать способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы.

 

В результате самостоятельного освоения дисциплины студент должен:

- знать основные понятия, определения и методы исследования объектов

с помощью теорем и формул различных разделов курса математического анализа;

- уметь: четко формулировать и доказывать основные положения курса

математического анализа, решать задачи и примеры по различным разделам математического анализа с доведением решения до практического приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.п.), уметь при решении задач выбирать необходимые вычислительные методы и средства (ПЭВМ, таблицы и справочники); самостоятельно изучать научную литературу по линейной алгебре;

- иметь представление о численных алгоритмах решения

математических и прикладных задач его профессиональной области.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Понятие функции

 

 Пусть даны два непустых множества  и .

Функция – это соответствие , которое каждому элементу сопоставляет единственный элемент . Область определения функции   – множество , которое обозначается  или кратко . Множество значений функции   – множество , которое обозначается  или .

Чтобы задать функцию  необходимо указать правило, позволяющее, зная , находить . Если элементами множеств  и  являются действительные числа, то функция называется числовой функцией и записывается . Переменная называется аргументом, а  – значением функции, соответствующим заданному значению аргумента .

Графиком функции  называется множество всех точек плоскости  с координатами , для каждой из которых  является аргументом, а  – значением функции.              

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический (в виде одной или нескольких формул), графический (в виде графика) и табличный (в виде ряда отдельных значений аргумента и соответствующим им значений функции).

Далее вводятся некоторые характеристики для функции , определенной на множестве .

 1. Функция  называется четной, если  выполняются условия   и .

2. Функция , называется нечетной, если  выполняются условия  и .

3. Функция  называется возрастающей на множестве , если , таких что  выполняется условие  (если выполняется условие , то функция называется неубывающей).

4. Функция  называется убывающей на множестве , если , таких что  выполняется условие  (если выполняется условие , то функция называется невозрастающей).

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными, а возрастающие и убывающие – строго монотонными на множестве  функциями.

5. Если существует такое число , что  выполняется неравенство , то функция  называется ограниченной на множестве .

6. Если существует такое число , что  значение   и , то функция  называется периодической на множестве .

Пусть задана функция  с областью определения  и множеством значений . Если введено соответствие, которое каждому элементу сопоставляет единственный элемент , то определена обратная функция  с областью определения  и множеством значений . Записывается в виде . Если ввести переобозначения: аргумент обратной функции обозначить символом , а значение – символом , то обратная функция принимает вид

Для функции  определена обратная  тогда и только тогда, когда  определяет взаимно-однозначное соответствие между множествами  и . То есть любая строго монотонная функция имеет обратную.

Пусть задана функция  с областью определения  и множеством значений , а функция  с областью определения  и множеством значений , то есть на множестве  определена сложная функция  (или функция от функции, или суперпозиция заданных функций).

Числовые последовательности. Предел последовательности.

Под числовой последовательностью  понимается   функция , заданная на множестве натуральных чисел . Кратко последовательность обозначается в виде  или . Число  называется первым членом последовательности, число  называется общим или -м членом последовательности.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что  выполняется неравенство .

Последовательность называется возрастающей ( или неубывающей), если  выполняется условие  (или ). Эти последовательности называются монотонными.

Число  называется пределом последовательности    , если для любого сколь угодно малого числа  найдется такое натуральное число , что при всех  выполняется неравенство .

Говорят также, что последовательность  сходится к  (является сходящейся) и записывают .

Кратко определение предела последовательности записывается так:

.