Энергетические уровни примесей в кристаллах

Рассмотрим влияние дефектов и примесей на энергетический спектр кристалла. Примеси или дефекты накладывают на периодический потенциал  сильное возмущение , локализованное в малой области с центром в  – в точке расположения дефекта.

Таким образом, надо решить одноэлектронное уравнение Шредингера:

        (7.78)

Так как невозмущенное уравнение Шредингера имеет решение в виде функций Блоха, можно из теории возмущений найти собственные значения энергии и собственные волновые функции уравнения (7.78).

Оказывается, что возмущение периодическим потенциалом  приводит к отщеплению уровней от разрешенной зоны. Чем больше возмущение, тем сильнее отщепление уровня (или уровней) энергии. Таким образом, в запрещенной зоне появляются разрешенные уровни, обусловленные дефектами или примесями.

Рассчитать положение разрешенных уровней практически невозможно, даже если известен вид возмущения , так как неизвестен точный вид потенциала . Это возможно только для мелких уровней. Для мелких уровней уравнение Шредингера можно решить с помощью метода эффективной массы.

Уравнение (7.78) перепишем с учетом понятия эффективной массы, учитывающей действие периодического потенциала кристалла:

             (7.79)

Например, в случае элемента V группы (P, As и др.) в кремнии потенциал U (r) имеет вид кулоновского взаимодействия:

                          (7.80)

Тогда (2):

,      (7.81)

т.е. аналогично уравнению Шредингера для атома водорода. При этом по аналогии с атомом водорода:

(7.82)

или

(n = 1, 2,...) (7.83)

Таким образом, энергия ионизации основного состояния (n = 1) донорной примесного атома:

                              (7.84)

Для Ge: e = 16, m ^* = 0,25 m, E_d @ 0,01 эВ

Для Si: e = 12, m ^* = 0,4 m, E_d @ 0,04 эВ

Расчетные величины E_d близки к экспериментальным значениям (табл.7.2).

В водородоподобной модели можно оценить радиус орбиты электрона примеси:

,                            (7.85)

где а _о – боровский радиус (а _о = 0,508 ).

В Ge a @ 60 a _o = 32 , т.е. охватывает примерно 200 узлов решетки (d = 5,62 ).

Большое количество примесей приводит к образованию примесной зоны из-за перекрытия волновых функций электронов.

Таблица 7.2

Экспериментальные значения энергии ионизации

мелких примесей в Si и Ge