Построение графиков функций

18 19 20 21 22 23 24

При построении графиков функций можно использовать следующую схему исследования:

1. найти область определения функции;

2. исследовать на четность и нечетность функцию;

3. найти точки разрыва функции;

4. найти асимптоты;

5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

6. исследовать функцию на монотонность и экстремум;

7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки прогиба;

8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

9. построить схематично график функции.

Пример 5.

Провести полное исследование функции и построить её график

1. Областью определения является множество .

2. Т.к. , то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция претерпевает разрыв в точке .

4. Найдем асимптоты графиков функций:

а) Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.

б) Находим наклонные и горизонтальные асимптоты,

;

является наклонной асимптотой.

5. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью : , т.е. точка пересечения с осью

– ,

б) С осью : , , , т.е. точка пересечения с осью – .

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из получаем , откуда , ,

–

+ –

Так как на и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает.

Так как на и производная отрицательна, т.е. , то на этих интервалах график функции убывает.

Так как при переходе через точки , производная функции меняет знак и эти точки входят в область определения функции, то , – точки экстремума. Причем – точка максимума: ; – точка минимума:

y_max= y(-3)=0

y_min= y(11)=28

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, т.к. не входит в область определения функции. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.