Поток векторного поля через поверхность

Если в любой точке M (x,y, z) области задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .

Пример ы: силовое поле , поле скоростей текущей жидкости, электростатическое поле напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точки M (x,y, z):

где P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагаем, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x,y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле в двумерной области D: .

Пусть в области задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Потоквекторного поля через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора на орт нормали к поверхности:

Поток – интегральная характеристика векторного поля, скалярная величина. Например, для поля скоростей текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхность σ задана уравнением , то вектор ее нормали совпадает с градиентом функции, задающей поверхность: , значит, орт нормали .

Для вычисления поверхностного интеграла поверхность область, ограниченную поверхностью σ, проектируют на одну из координатных плоскостей, например в область . Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

, (7)

где «+» следует брать в случае, когда вектор и орт «внешней»нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».