Решение примерного варианта РГЗ

Задача 1. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L: от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Решение.

Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (3)): .

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

, ,

тогда получим: .

Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:

Ответ: ед. работы.

Задача 2. Задан радиус-вектор движущейся точки:

. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в координатной форме: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x (t), y (t) z (t) по аргументу t:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (4) и (5):

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

, .

Ответы: , .

Задача 3. Дано векторное поле и уравнение плоскости d: 3 x + y + 2 z – 3 = 0. Требуется:

1) найти поток поля через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

1) Чтобы вычислить поток поля через плоскость треугольника АВС используем формулу (6): П_АВС = , где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость d, которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d с координатными осями:

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 9).

Из уравнения плоскости d: 3 x + y + 2 z – 3 = 0, которое имеет вид F (x, y, z) = 0, находим .

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d. Это означает, что вектор и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла: П_АВС = + (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 10) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

Вычислим и получим подинтегральную функцию, подставив = 2 и (из уравнения плоскости):

Таким образом, поток поля через плоскость треугольника АВС:

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

2) Чтобы вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

Найдем дивергенцию этого поля по формуле (8): . Для поля получаем:

Вычислим поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС:

, где – объем пирамиды ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

В результате получаем: .

Ответы: П_ABC = 8,5, рисунок 9; 2) П_ОАВС = –2,25.

Задача 4. Проверить, является ли векторное поле силы потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы при перемещении единичной массы из точки M (0,1,0) в точку N (–1,2,3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля найдем его ротор по формуле (10):

Следовательно, поле потенциально.

Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (8):

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U (x,y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В (0,0,0), текущую точку С (x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл по ломаной ВEKC, звенья которой параллельны осям координат и E (x,0,0), K (x,y,0) (см. рис. 7). По формуле (12) получим:

Получили потенциал поля , где С – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.