Вычисление криволинейного интеграла II рода и его механическая трактовка

Методические указания к выполнению расчетно-графического задания по теме

«Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

.

 

 

Мурманск

2008 г.

Составители:

Кацуба Валентина Сергеевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Демешко Людмила Александровна, ассистент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

 

 

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 15 февраля 2008 г., протокол № 4

 

                                   

 

 

Рецензент – Хохлова Л.И., канд. филос. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ

 

ÓМурманский государственный технический университет, 2008

 

 

Оглавление

                                                                                            Стр.

Введение                                                                                                                     4

Методические указания по теме                                                                                    5

Справочный материал к выполнению РГЗ                                                                     6

1. Криволинейные интегралы II рода (по координатам)                                                           6

1.1. Вычисление криволинейного интеграла II рода и его механическая трактовка.             6

1.2. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от формы пути интегрирования.                                                                                                                            7

2. Векторная функция скалярного аргумента                                                                             7

3. Векторное поле                                                                                                                          8

3.1. Поток векторного поля через поверхность.                                                                         8

3.2. Дивергенция векторного поля.                                                                                            10

3.3. Формула Остроградского-Гаусса.                                                                                        11

4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля                                                            11

4.1. Ротор векторного поля.                                                                                                   11

4.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал.                                                             12

4.3. Соленоидальное векторное поле.                                                                                        13

Решение примерного варианта РГЗ                                                                                           14

Задания РГЗ по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»                   20

Вопросы для самопроверки                                                                                                        27

Рекомендуемая литература                                                                                                          27

 

 

Введение

 

В настоящем пособии содержатся задания к выполнению РГЗ по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля», список рекомендуемой литературы  и ссылки на разделы теоретического материала, которые необходимо изучить для выполнения этой контрольной работы. В результате изучения этих тем студенты должны:

• уметь решать задачи с применением криволинейных интегралов II-го рода;

• иметь представление о вектор-функции скалярного аргумента, ее производных и уметь решать задачи с их использованием;

• знать основы теории векторного поля и уметь определять его основные характеристики (поток, дивергенция, ротор)

• уметь вычислять поток вектора через замкнутую и незамкнутую поверхность;

• знать основные виды векторных полей (потенциальные и соленоидальные), уметь определять вид поля и использовать его свойства.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения РГЗ по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля» и решение примерного варианта работы, в котором имеются ссылки на используемый справочный материал.

Методические указания по теме

«Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

          В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием РГЗ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением РГЗ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал

Таблица1

№ задачи	Содержание (темы)	Литература
1	Криволинейный интеграл II рода (по координатам), его основные свойства и вычисление. Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода	[1], гл.III, § 10.1, 10.2, 10.5; [2], гл. 13, § 5.3, 5.4, 9.2
2	Вектор-функция скалярного аргумента, ее дифференцирование. Физический смысл производных вектор-функции	[3], гл. IX, § 1-4;
3	Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность и его вычисление с использованием поверхностного интеграла II рода. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса. Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность	[1], гл. VII, § 25, 25.2, 25.3; [2], гл.13, § 12, 14.2, 14.4, 14.5;
4	Ротор векторного поля. Потенциальное векторное поле и его потенциал. Признак потенциальности векторного поля. Свойства потенциальных полей. Нахождение потенциала векторного поля с помощью криволинейного интеграла II рода. Соленоидальное векторное поле, его свойства. Признак соленоидальности векторного поля	[1], гл. VII, § 25.5, 27.1, 27.2; [2], гл. 13, § 14.3, 14.6;

Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал к выполнению РГЗ

Криволинейные интегралы II рода (по координатам)

Вычисление криволинейного интеграла II рода и его механическая трактовка.

Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):

,                       

где AB – это дуга пространственной кривой от точки A до точки B с указанным на ней направлением, P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги AB.

В двумерном случае: , где AB Î XOY.

     Пусть кривая   AB задана параметрически:  причем функции x (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а t_A, t_B – значения параметра для начала и конца кривой (в точках А и В). Тогда

и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла:

,        (1)

где t_A, t_B – значения параметра для начала и конца дуги AB.

Аналогичная формула составляется для трехмерного криволинейного интеграла по пространственной кривой AB, заданой параметрически.

Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси OX и OY вектора направленной силы , то

– это работа переменной силы на криволинейном перемещении AB.